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==Convergência de uma sucessão==

Consideremos a sucessão real $\displaystyle a_n=1+\frac{1}{n}$. O seu gráfico é o seguinte:

[[File:suc3.jpg]]



O que se verifica é que, à medida que $n$ aumenta, o valor de $a_n$ aproxima-se de $1$. Escrevemos $\displaystyle \lim_{n
\to + \infty} a_n =1$ ou simplesmente $\displaystyle \lim a_n =1$.

Seja $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sucessão real. Dizemos que a sucessão é '''convergente''' se existe um número real $L$ tal que, à medida que $n$ cresce, os termos da sucessão aproximam-se de $L$. Escrevemos $\lim a_n =L$.


Formalmente, dizemos que '''a sucessão converge para $L$''' se
$$\forall \epsilon >0, \hspace{.2cm }\exists N \in \mathbb{N} \hspace{.2cm}:
\hspace{.2cm} n \geq N \to |a_n-L|< \epsilon$$
Se tal real $L$ não existe, dizemos que a sucessão é '''divergente'''.

O limite de uma sucessão, se existir, é '''único'''.


Por exemplo, tomemos as duas seguintes sucessões:
$$u_n=2n-6 \hspace{1cm} \mbox{e} \hspace{1cm} v_n=(-1)^n. $$

Os gráficos das duas sucessões são, respetivamente

[[File:suc4.jpg]]



Os termos da sucessão $(u_n)_n$ aumentam indefinidamente; dizemos que $\displaystyle \lim u_n= +\infty$.

Os termos da sucessão $(v_n)_n$ vão oscilando entre $-1$ e $1$ consoante $n$ é ímpar ou par, respetivamente. Uma vez que o
limite de uma sucessão quando existe é único, concluímos que esta sucessão não tem limite.

Ambas as sucessões são '''divergentes'''.

Se $\lim a_n=+ \infty$ dizemos que a sucessão $(a_n)_n$ é um '''infinitamente grande positivo'''. Formalmente dizemos,
$$\lim a_n=+ \infty \Leftrightarrow \forall M \in \mathbb{R}, \hspace{.2cm} \exists N \in \mathbb{N} \hspace{.2cm}:  \hspace{.2cm} n \geq N \to a_n>M;$$
Se $\lim a_n=- \infty$ a sucessão diz-se um '''infinitamente grande negativo'''. Formalmente temos:
$$\lim a_n=- \infty \Leftrightarrow\forall M \in \mathbb{R}, \hspace{.2cm} \exists N \in \mathbb{N} \hspace{.2cm}:  \hspace{.2cm}
  n \geq N \to a_n<M;$$
Se $\lim a_n=0$ a sucessão é um '''infinitésimo'''. Formalmente,
$$\lim a_n=0 \Leftrightarrow
 \forall \epsilon >0, \hspace{.2cm} \exists N \in \mathbb{N} \hspace{.2cm}:  \hspace{.2cm}
  n \geq N \to |a_n|< \epsilon.$$



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