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==Resolução de outras Inequações==

O primeiro passo a realizar na resolução de uma inequação é transformá-la numa inequação equivalente cujo segundo membro seja nulo. De seguida, e sempre que possível, simplificar o primeiro membro de modo a obter um produto/quociente de expressões .

===Exemplos===
Considere-se a seguinte inequação $(x-4)(x+1)>0$.

Resolver esta inequação é determinar os valores de $x$ para os quais o produto de $x-4$ por $x+1$ é positivo. Atendendo a que o produto de dois factores só é positivo se ambos tiverem o mesmo sinal, pode-se concluir que os valores de $x$ são os que verificam as condições
\begin{eqnarray*}
(x-4)(x+1)>0 & \Leftrightarrow & \left\{
\begin{array}{l}
x-4>0 \\
x+1>0 \\
\end{array}
\right. \lor \left\{
\begin{array}{l}
x-4<0 \\
x+1<0 \\
\end{array}
\right. \\
& \Leftrightarrow & \left\{
\begin{array}{l}
x>4 \\
x>-1 \\
\end{array}
\right. \lor \left\{
\begin{array}{l}
x<4 \\
x<-1 \\
\end{array}
\right. \\
& \Leftrightarrow & x>4 \lor x<-1
\end{eqnarray*}

Uma forma mais simples para a resolução deste tipo de inequações é a construção de uma tabela.
O primeiro membro da inequação $(x-4)(x+1)>0$ tem dois fatores. O que se pretende é colocar numa tabela os intervalos em que cada um dos factores é positivo ou negativo.

Os valores que se têm de colocar nas colunas são os valores para os quais cada fator se anula, por ordem crescente.
Os fatores anulam-se para $4$ e $-1$, respetivamente. Assinala-se o sinal que cada fator toma em cada intervalo. Assim a tabela tem a forma

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
| ||  || $-1$ ||  || $4$ ||
|-
| $x-4$ || $-$ || $-5$ || $-$ || $0$ || $+$
|-
|  $x+1$ || $-$ || $0$  || $+$ || $5$ || $+$
|-
| $(x-4)(x+1)$ || $+$ || $0$  || $-$ || $0$ || $+$
|}

\[
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
  \multicolumn{1}{c|}{ \ } &     & $-1$ &     & $4$ &     \\ \hline
  $x-4$                    & $-$ & $-5$ & $-$ & $0$ & $+$ \\ \hline
  $x+1$                    & $-$ & $0$  & $+$ & $5$ & $+$ \\ \hline
  $(x-4)(x+1)$             & $+$ & $0$  & $-$ & $0$ & $+$ \\
\end{tabular}
\]
A última linha é preenchida atendendo à regra dos sinais.
\[
\begin{tabular}{|c|}
  \hline
  \textbf{Regra dos Sinais} \\
  \\
  Um produto é \textbf{positivo} se o número de factores negativos é \textbf{par} \\
\\
  Um produto é \textbf{negativo} se o número de factores negativos é \textbf{ímpar} \\
  \hline
\end{tabular}
\]

\bigskip

\noindent Assim
\[
(x-4)(x+1)>0 \sse x<-1 \lor x>4,
\]
ou seja, o conjunto solução da inequação é $]-\infty,-1[\cup]4,+\infty[$.

\noindent Se se pretende resolver a inequação $(x-4)(x+1)\le0$, basta observar de novo o quadro e concluir que
\[
(x-4)(x+1)\le0 \sse -1\le x \le4
\]

  \item Considere-se a seguinte inequação
\[
\frac{x-3}{4-x}\le1
\]
Resolver uma inequação reduz-se ao problema de determinar o sinal de uma expressão. Assim, tem que se colocar o segundo membro da inequação a zero e depois transformar o primeiro membro num produto/quociente de expressões.
\begin{align*}
\frac{x-3}{4-x}\le1 & \sse  \frac{x-3}{4-x}-1\le0 & \\
& \sse  \frac{x-3}{4-x}-\frac{4-x}{4-x}\le0 & \\
& \sse  \frac{x-3-4+x}{4-x}\le0 & \\
& \sse  \frac{2x-7}{4-x}\le 0 &
\end{align*}
Aplicando a tabela descrita no exemplo anterior, os factores anulam-se para $\DS\frac{7}{2}$ e $4$, respectivamente. Assim a tabela tem a forma
\[
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
                     &     & $\frac{7}{2}$ &     & $4$ &     \\ \hline
  $2x-7$             & $-$ & $0$           & $+$ & $1$ & $+$ \\ \hline
  $4-x$              & $+$ & $\frac{ 1}{2}$           & $+$ & $0$ & $-$ \\ \hline
  $\frac{ 2x-7}{4-x}$ & $-$ & $0$           & $+$ & S/S & $-$ \\
\end{tabular}
\]
Note-se que, quando $x=4$, o denominador anula-se e a inequação não faz sentido e, por isso, é usual escrever-se $S/S$, que significa \textit{Sem Significado}.
\noindent Pretende-se os valores que tornam negativa ou nula a fracção. Assim o conjunto solução é $\DS\left]-\infty,\frac{7}{2}\right] \cup ]4,+\infty[$.
\end{enumerate}