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= Números e conjuntos =

== Conjuntos de números ==

Um conjunto é uma colecção de objectos, designados \textbf{elementos}, usualmente representado por uma letra maiúscula. Os conjuntos podem representar-se em extensão, $A=\{2, 4, 6, 8, 10\}$, ou em compreensão, $A=\{\mbox{números pares compreendidos entre 2 e 10} \}$. O uso de chavetas indica que se trata de um conjunto: $A$ é o conjunto dos números pares compreendidos entre 2 e 10. Quando queremos representar um conjunto com um número infinito de elementos usam-se $\ldots$. Por exemplo, $B=\{ \mbox{números ímpares}\}$ podemos representá-lo em extensão da seguinte forma $\{1,3,5,7,9, \ldots \}$.

Um conjunto sem elementos designa-se por '''conjunto vazio''' e representa-se por $\{ \}$ ou $\emptyset$.

Um conjunto $A$ diz-se que está contido num conjunto $B$ ou que é subconjunto de $B$ se cada elemento de $A$ é elemento de $B$. Por exemplo, se $A=\{\mbox{manga, ananás}\}$ e $B= \{\mbox{frutos tropicais}\}$, então $A$ é subconjunto de $B$ (ou $A$ está contido em $B$) e escreve-se $A\subseteq B$.

Os conjuntos numéricos mais utilizados estão descritos na tabela seguinte:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
  \hline
  \textbf{Notação} & \textbf{Definição} & \textbf{Exemplos}\\ \hline
  $\mathbb{N}$   & Números Naturais & $1;2;3;\dots$ \\ \hline
  $\mathbb{N}_0  =\mathbb{N}\cup\{0\}$ & \centering Números Naturais e o Zero & $0;1;2;3;\dots$ \\ \hline
  $\mathbb{Z}=\mathbb{N}_0 \cup \{-n:n\in\mathbb{N}\}$   & \centering Números Inteiros  &  $\dots;-2;-1;0;1;2;\dots$ \\ \hline
  $\mathbb{Q}= \left\{\frac{a}{b}:a,b\in\mathbb{Z}\land b\neq0 \right\}$   & \centering Números Racionais   & \begin{tabular}{|c|}
 dízimas finitas \\  $-0,6;\DS\frac{1}{4}=0,25;34,8;3;\dots$ \\ \hline
 dízimas infinitas periódicas: \\
  $\DS 0,1(6)=\frac{1}{6}; \DS 0,(8)=\frac{8}{9};\dots$ \\
 \end{tabular}\\ \hline
  $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \{x:x \mbox{ é número irracional }\}$   & \centering Números Reais  &    $ \pi=3.14159\dots$; \\
(irracional ou dízima infinita não periódica) &  &    $\sqrt{7}=2.645751\dots$ \\ \hline
 % $\mathbb{C}$     & \centering Números Complexos\\  $\mathbb{C}= \{a+bi:a,b\in\mathbb{R}, i^2=-1\}$} &  $4-i;3i;5;\ldots$  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Entre estes conjuntos verificam-se as seguintes inclusões:
$$\mathbb{N} \subset \mathbb{N}_0 \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

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