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* Como  a expressão  $\displaystyle -2 \, x^{2} + 16 \, x - 30$ está  definida para todo o número real, conclui-se que  o domínio de $p$  é $\mathbb{R}$;

* Para determinar os zeros de $p$ resolve-se a equação $$\displaystyle -2 \, x^{2} + 16 \, x - 30=0.$$ Como é uma equação do segundo grau aplica-se a fórmula resolvente
$$ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},$$ neste caso com $a=-2$, $b=16$ e $c=-30$. Resultando assim
$$x=\frac{-16 \pm \sqrt{256-240}}{-4} \Leftrightarrow x=5 \vee x=3.$$
Deste modo conclui-se que  os zeros   de $p$ são $\displaystyle 5$ e $\displaystyle 3.$

* O sinal do polinómio de 2º grau $ax^2+bx+c$ depende do sinal de $a$. Se o polinómio tem duas raízes reais, o  sinal de $p(x)$ é o sinal de $a$ fora do intervalo definido pelas   raízes e o sinal contrário ao de $a$ no intervalo definido pelas raízes.

Como neste caso $a=-2 < 0$ vem,
** $p(x)<0$ em $\displaystyle \left]-\infty,3 \right[ \cup \left]5,+\infty \right[$
** $p(x)>0$ em $\displaystyle \left]3 , 5\right[$.


* O gráfico de um polinómio de grau 2 é uma parábola. Neste caso o  vértice da parábola tem coordenadas  $\displaystyle \left(4,2\right)$ e, atendendo ao sinal de $a=-2 < 0$, conclui-se que:
**  $p$ é crescente em $\displaystyle \left]-\infty, 4 \right[$;
**   $p$ é decrescente em $\displaystyle \left]4, +\infty\right[$;
** o valor máximo de $p$ é $\displaystyle 2$;
**  $\displaystyle 4$ é o maximizante

e, consequentemente, o contradomínio de $p$ é $\displaystyle \left]-\infty, 2 \right]$.


Com a informação descrita anteriormente é possível preencher a tabela apresentada. Assim,

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Polinómio !! $p(x)=-2 \, x^{2} + 16 \, x - 30$
|-
! Domínio || $\mathbb{R}$
|-
! Zeros ||  $\displaystyle  x=5\; \vee \;x=3 $
|-
!Sinal ||  $p(x)<0$ em $\displaystyle \left]-\infty,3 \right[ \cup \left]5,+\infty \right[$; 
$p(x)>0$ em $\displaystyle \left]3 , 5\right[$
|-
! Extremos ||  máximo $\displaystyle 2$, maximizante $\displaystyle 4$
|-
! Monotonia ||  crescente em $\displaystyle \left]-\infty, 4 \right[$ e decrescente em $\displaystyle \left]4, +\infty\right[$
|-
! Contradomínio ||  $\displaystyle \left]-\infty, 2 \right]$ 
|}
 

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