View source for Zeros de um polinómio e fatorização

==Zeros de um polinómio e fatorização==
Dado um polinómio $p$ diz-se que $\beta$ é um '''zero''' ou uma '''raiz''' de $p$ se, ao substituir $x$ por $\beta$, o polinómio se anula, ou seja, $p(\beta)=0$. Mostra-se que $\beta$ é uma raiz de $p$ se o resto da divisão de $p$ por $x-\beta$ é zero.

Por exemplo $x=-1$ é uma raiz do polinómio $p(x)=x^2+2x+1$, já que $p(-1)=(-1)^2+2\cdot(-1)+1=0$.

A decomposição de um polinómio em fatores consiste em escrever um polinómio como produto de fatores. Se $\beta$ é raiz do polinómio $p$ então $p$ pode decompor-se em fatores da forma $p(x)=(x-\beta)q(x)$, onde $q(x)$ é o quociente da divisão inteira de $p(x)$ por $x-\beta$.

Existem vários processos para determinar zeros de um polinómio e a sua consequente decomposição.
* Seja $p(x)=ax^2+bx+c$, com $a,b,c\in\mathbb{R}$ e $a\neq0$. Os zeros deste polinómio existem (em $\mathbb{R}$) se e só se $b^2-4ac\ge0$ e são dados pela '''fórmula resolvente'''

$$\displaystyle \alpha = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a } \quad \quad
 \beta = \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

'''Nota:''' É usual denotar $\Delta=b^2-4ac$.

Caso existam os zeros, pode-se fatorizar $p$ do seguinte modo
$p(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)$.         [[Exemplo 3|'''Exemplo''']]

* Existem certos polinómios de grau $2$ que são mais fáceis de fatorizar aplicando os [[casos notáveis da multiplicação]]. [[Exemplo 4|'''Exemplo''']]

* Seja $p(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$, $n\in\mathbb{N}$. A regra de Ruffini pode ser usada para determinar o valor de $\alpha$ tal que o resto da divisão inteira de $p$ por $x-\alpha$ seja nulo.

'''Regra prática:''' Suponha-se que $p$ tem todos os coeficientes inteiros, ou seja, $a_i\in\mathbb Z$.
Então, se $p$ tiver um zero da forma $\displaystyle \alpha= \frac\beta\gamma$, tal que $\beta\in\mathbb Z$ e $\gamma\in\mathbb N$,
$\beta$ é divisor de $a_0$ e $\gamma$ é divisor de $a_n$.

Donde $p(x)=(x-\alpha)q(x)$, onde $q(x)$ é o quociente da divisão. [[Exemplo 5|'''Exemplo''']]

* Outro processo baseia-se na existência de '''fatores comuns''' em todos os monómios que compõem o polinómio. Se tais fatores existirem, podem-se colocar em evidência. [[Exemplo 6|'''Exemplo''']]

[[Fatorização: exercícios|Exercícios resolvidos]]

[[Exercícios 2|'''Exercícios''']]

[[Matemática Elementar#Polinómios|Voltar]] &nbsp; [[Simplificação de expressões|Seguinte]]