Definição de limite

Revision as of 17:03, 13 November 2012

Definição de limite

No que se segue considere-se uma função $f:D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e $a \in \mathbb{R}$ tal que $D$ \underline{contém um intervalo aberto} de centro em $a$ com possível excepção do ponto $a$.

Diz-se que $f$ tem limite $l \in \mathbb{R}$ quando $x$ tende para $a$ em $D$, $$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=l,$$ se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, distintos de $a$ , que tende para $a$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=a$), a correspondente sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $l$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=l$).

Exemplo

Contudo, este exemplo não demonstra que ${\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)}=\frac12$, porque foi considerada uma sucessão particular $x_n\!=\!1\!+\!\frac{(-1)^n}n$. Para mostrarmos que ${\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)}= \frac12$ vamos considerar uma sucessão $(x_n)_n$

qualquer, que convirja para 1 e tal que $x_n\in D \setminus \{1\},\; \forall n\in \mathbb{N}$, assim temos

$$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(x_n)=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{x_n+1}= \frac{1}{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}x_n+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$$ Como $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f(x_n)$ é independente da sucessão $(x_n)_n$ escolhida, pode garantir-se que ${\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)}=\frac12$.\\ \vspace{0,5cm}

\textbf{Observações:} \begin{enumerate} \item \begin{minipage}[t]{100mm} Pode existir UNIQ5e1f44a8630f783-MathJax-30-QINU e UNIQ5e1f44a8630f783-MathJax-31-QINU. Vejamos por exemplo a função UNIQ5e1f44a8630f783-MathJax-32-QINU definida por UNIQ5e1f44a8630f783-MathJax-33-QINU, com domínio UNIQ5e1f44a8630f783-MathJax-34-QINU e UNIQ5e1f44a8630f783-MathJax-3-QINU {\small Repare-se que UNIQ5e1f44a8630f783-MathJax-35-QINU. Como se trata do limite quando UNIQ5e1f44a8630f783-MathJax-36-QINU tende para 1, UNIQ5e1f44a8630f783-MathJax-37-QINU é efectivamente diferente de UNIQ5e1f44a8630f783-MathJax-38-QINU.} \end{minipage} \hfill \begin{pvplot}[pos=.7,name=flmnc,unit=12mm](-1.5,2.5)(-.5,3) \pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y] \pvfunct[add=f,name=f,size=2]{f(x):(-.6,2)} \pvpoint[y=\scriptstyle\frac12,x=\scriptstyle1,dash](1,.5){} \pvpoint[color=white,pt](1,.5)[]{\scriptstyle\circ} \pvpoint(1,1.5)[l]{\scriptstyle g(x)=\frac{\scriptstyle x-1}{\scriptstyle x^2-1}} %\pvpoint(1.01,.44){\vector(-4,1){.1}}\pvpoint(.45,.58){\vector(4,-1){.1}} %\pvpoint(1,-.4){\vector(-1,0){.2}}\pvpoint(.4,-.4){\vector(1,0){.2}} %\pvpoint(-.25,.1){\vector(0,1){.2}}\pvpoint(-.25,.9){\vector(0,-1){.2}} \end{pvplot} \item \begin{minipage}[t]{100mm} O limite da função num ponto não é necessariamente a imagem da função no ponto. Considere-se por exemplo a função, UNIQ5e1f44a8630f783-MathJax-41-QINU UNIQ5e1f44a8630f783-MathJax-39-QINU e UNIQ5e1f44a8630f783-MathJax-40-QINU. \end{minipage} \hfill \begin{pvplot}[pos=0.8,name=flmnc,unit=12mm](-1.5,2.5)(-.5,4) \pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y,yrange={-.5,3}] \pvfunct[add=f,name=f,size=2]{f(x):(-.6,2)} \pvpoint[x=\scriptstyle1,y=\scriptstyle2,dash,pt](1,2){} %\pvpoint(-.2,2)[]{\scriptstyle2} \pvpoint[y=\scriptstyle\frac12,ydash](1,.5){} %\pvfunct[name=s,discrete]{1+1/x:(0,1.5)} \pvpoint[color=white,pt](1,.5)[]{\circ} \pvpoint(1.5,1.5)[l]{\scriptstyle h(x)} %\pvpoint(1.01,.44){\vector(-4,1){.1}}\pvpoint(.45,.58){\vector(4,-1){.1}} %\pvpoint(1,-.4){\vector(-1,0){.2}}\pvpoint(.4,-.4){\vector(1,0){.2}} %\pvpoint(-.25,.1){\vector(0,1){.2}}\pvpoint(-.25,.9){\vector(0,-1){.2}} \end{pvplot} \end{enumerate}