Exemplos 7
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| + | Levantamento de indeterminações do tipo $\infty^0,\;0^0,\;1^\infty$)} | ||
| + | Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:\\ | ||
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| + | \begin{tabular}{lll} | ||
| + | \textbf{1.} $\DS \lim_{x \to 0^+}(1+2x)^{\frac{1}{x}}$ & | ||
| + | \textbf{2.} $\DS \lim_{x \to +\infty}x^{\frac{1}{x}}$ & | ||
| + | \textbf{3.} $\DS \lim_{x \to 0^+}x^x$ | ||
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| + | \textbf{Resolução:} | ||
| + | \begin{enumerate} | ||
| + | \item $\DS \lim_{x \to 0^+}(1+2x)^{\frac{1}{x}}= | ||
| + | \lim_{x \to 0^+}\left(1+\frac{2}{\frac{1}{x}}\right)^{\frac{1}{x}}=e^2$ (porque | ||
| + | $\frac{1}{x}_{\overrightarrow{x\to0^+}}+\infty$)\\ | ||
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| + | \item $\DS \lim_{x \to +\infty}x^{\frac{1}{x}}=?$\\ | ||
| + | Recorde-se que $\DS a^b=e^{b \ln{a}}$. Assim, | ||
| + | $$x^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\ln{x}}=e^{\frac{\ln{x}}{x}}$$ | ||
| + | Como | ||
| + | $$\DS \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0,$$ | ||
| + | resulta que, | ||
| + | $$\DS \lim_{x \to +\infty}x^{\frac{1}{x}}=e^0=1.$$ | ||
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| + | \item $\DS \lim_{x \to 0^+}x^x=?$\\ | ||
| + | Analogamente ao exercício anterior | ||
| + | $$x^{x}=e^{x\ln{x}}$$ | ||
| + | Como | ||
| + | $$\DS \lim_{x \to +\infty}x\ln x=0,$$ | ||
| + | resulta que, | ||
| + | $$\DS \lim_{x \to +\infty}x^{x}=e^0=1.$$ | ||
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Revision as of 19:37, 14 November 2012
Exemplo 1
Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:
1. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x-3}$
2. $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3}$
3. $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{2-x}$
4. $\displaystyle \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2-1}$
5. $\displaystyle \lim_{x \to 2} \ln(x-2)$
6. $\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}$
Exemplo 2
Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:
1. $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{3^{x} - 2^{x}}{3^{x+1}+ 2^{x-3}}$
2. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2-x-10}{x^2-x-2}$
3. $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$
4. $\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1-\cos(t)}{\sin(t)}$
5. $\displaystyle \lim_{t \to 2} \frac{e^{2t-4}-1}{t-2}$
6. $\displaystyle \lim_{t \to +\infty}x^2\sin\frac{1}{x}$
7. $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}xe^x$
8. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x}-\sqrt{x+1}\right)$
9. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\ln(3x^2+2)-\ln (x^2)\right)$
10. $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\frac{\cos(x)}{1-\sin(x)}$
Exemplo 3
Levantamento de indeterminações do tipo $\infty^0,\;0^0,\;1^\infty$)} Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:\\
\begin{tabular}{lll} \textbf{1.} UNIQ7cacfb9f61a9408e-MathJax-24-QINU & \textbf{2.} UNIQ7cacfb9f61a9408e-MathJax-25-QINU & \textbf{3.} UNIQ7cacfb9f61a9408e-MathJax-26-QINU \end{tabular}\\
\textbf{Resolução:} \begin{enumerate} \item $\DS \lim_{x \to 0^+}(1+2x)^{\frac{1}{x}}= \lim_{x \to 0^+}\left(1+\frac{2}{\frac{1}{x}}\right)^{\frac{1}{x}}=e^2$ (porque $\frac{1}{x}_{\overrightarrow{x\to0^+}}+\infty$)\\
\item $\DS \lim_{x \to +\infty}x^{\frac{1}{x}}=?$\\ Recorde-se que $\DS a^b=e^{b \ln{a}}$. Assim, $$x^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\ln{x}}=e^{\frac{\ln{x}}{x}}$$ Como $$\DS \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0,$$ resulta que, $$\DS \lim_{x \to +\infty}x^{\frac{1}{x}}=e^0=1.$$
\item $\DS \lim_{x \to 0^+}x^x=?$\\
Analogamente ao exercício anterior
$$x^{x}=e^{x\ln{x}}$$
Como
$$\DS \lim_{x \to +\infty}x\ln x=0,$$
resulta que,
$$\DS \lim_{x \to +\infty}x^{x}=e^0=1.$$
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