Exemplos 7

Revision as of 19:39, 14 November 2012

Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:

1. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x-3}$

2. $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3}$

3. $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{2-x}$

4. $\displaystyle \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2-1}$

5. $\displaystyle \lim_{x \to 2} \ln(x-2)$

6. $\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}$

Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:

1. $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac{3^{x} - 2^{x}}{3^{x+1}+ 2^{x-3}}$

2. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2-x-10}{x^2-x-2}$

3. $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{x-2}$

4. $\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{1-\cos(t)}{\sin(t)}$

5. $\displaystyle \lim_{t \to 2} \frac{e^{2t-4}-1}{t-2}$

6. $\displaystyle \lim_{t \to +\infty}x^2\sin\frac{1}{x}$

7. $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}xe^x$

8. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x}-\sqrt{x+1}\right)$

9. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\ln(3x^2+2)-\ln (x^2)\right)$

10. $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\frac{\cos(x)}{1-\sin(x)}$

Levantamento de indeterminações do tipo $\infty^0,\;0^0,\;1^\infty$)

Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:

1. $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}(1+2x)^{\frac{1}{x}}$ 2. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}x^{\frac{1}{x}}$ 3. $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}x^x$

@@ Line 43: / Line 43: @@
 ===Exemplo 3===
-Levantamento de indeterminações do tipo $\infty^0,\;0^0,\;1^\infty$)}
+'''Levantamento de indeterminações do tipo $\infty^0,\;0^0,\;1^\infty$)'''
-Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:\\
-\begin{tabular}{lll}
+Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:
-\textbf{1.} $\DS \lim_{x \to 0^+}(1+2x)^{\frac{1}{x}}$ &
-\textbf{2.}  $\DS \lim_{x \to +\infty}x^{\frac{1}{x}}$ &
-\textbf{3.}  $\DS \lim_{x \to 0^+}x^x$
-\end{tabular}\\
-\textbf{Resolução:}
-\begin{enumerate}
-\item $\DS \lim_{x \to 0^+}(1+2x)^{\frac{1}{x}}=
-\lim_{x \to 0^+}\left(1+\frac{2}{\frac{1}{x}}\right)^{\frac{1}{x}}=e^2$ (porque
-$\frac{1}{x}_{\overrightarrow{x\to0^+}}+\infty$)\\
-\item $\DS \lim_{x \to +\infty}x^{\frac{1}{x}}=?$\\
+'''1.''' $\displaystyle \lim_{x \to 0^+}(1+2x)^{\frac{1}{x}}$
-Recorde-se que $\DS a^b=e^{b \ln{a}}$. Assim,
+'''2.'''  $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}x^{\frac{1}{x}}$
-$$x^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x}\ln{x}}=e^{\frac{\ln{x}}{x}}$$
+'''3.'''  $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}x^x$
-Como
-$$\DS  \lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0,$$
-resulta que,
-$$\DS \lim_{x \to +\infty}x^{\frac{1}{x}}=e^0=1.$$
-\item $\DS \lim_{x \to 0^+}x^x=?$\\
+[[Resolução 11|Resolução]]
-Analogamente ao exercício anterior
-$$x^{x}=e^{x\ln{x}}$$
-Como
-$$\DS  \lim_{x \to +\infty}x\ln x=0,$$
-resulta que,
-$$\DS \lim_{x \to +\infty}x^{x}=e^0=1.$$
 [[Matemática Elementar#Limites e continuidade|Voltar]]