Sucessões monótonas

Revision as of 16:57, 15 November 2012

Sucessões monótonas

Seja $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ uma sucessão real. A sucessão é monótona

crescente se $a_{n+1}-a_n \geq 0$, para todo $n \in \mathbb{N}$;
decrescente se $a_{n+1}-a_n \leq 0$, para todo $n \in \mathbb{N}$;
estritamente crescente se $a_{n+1}-a_n > 0$, para todo $n \in \mathbb{N}$;
estritamente decrescente se $a_{n+1}-a_n < 0$, para todo $n \in \mathbb{N}$.

Por exemplo, a sucessão $a_n=1/n$ é estritamente decrescente, uma vez que $$a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{-1}{n(n+1)}<0,$$ para todo $n \in \mathbb{N}$.

Observemos que toda a sucessão estritamente crescente (respetivamente "estritamente decrescente") é crescente (respetivamente "decrescente"). Uma sucessão constante, por exemplo $u_n=4$, é simultaneamente crescente e decrescente, sendo portanto monótona.

Exemplos

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-Estude a monotonia das sucessões de termo geral:
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-\begin{description}
-\item[(a)]{$a_n=3+\sqrt{n}$.}
-\item[(b)]{$\DS b_n=\frac{n+2}{n+1}$.}
-\item[(c)]{$c_n=n^2-11n+10$.}
-\item[(d)]{$d_n=(-2)^n$.}
-\item[(e)]{$\left\{ \begin{array}{l}
-e_1=4\\
-e_{n+1}=e_n+2n+1, n \in \mathbb{N}\\
-\end{array} \right.$}
-\end{description}
-\textbf{Resolução:}
-\begin{description}
-\item[(a)]{Devemos estudar o sinal de $a_{n+1}-a_n$. Como $n+1>n$, então $\sqrt{n+1}>\sqrt{n}$.
- Logo, $a_{n+1}-a_n=[3+\sqrt{n+1}]-[3+\sqrt{n}]=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}>0$, e portanto
- a sucessão é monótona crescente.}
-\item[(b)]{Devemos estudar novamente o sinal de $b_{n+1}-b_n$:
-$$b_{n+1}-b_n=\frac{(n+1)+2}{(n+1)+1}-\frac{n+2}{n+1}=\frac{(n+3)(n+1)-(n+2)(n+2)}{(n+2)(n+1)}=$$
-$$\frac{-1}{(n+2)(n+1)}<0,$$ uma vez que, como $n \in \mathbb{N}$, então $n+2>0$ e $n+1>0$. Logo $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ é monótona
-decrescente.}
-\item[(c)]{Como $c_{n+1}-c_n=2n-10$ e esta expressão toma
-valores positivos ou negativos\footnote{Por exemplo, se $n=3$, $2n-10 < 0$, e $c_4 < c_3$; mas se $n=6$, então $2n-10 > 0$ e portanto $c_7 > c_6$.}, dependendo do valor de $n$, concluímos que a sucessão dada não é monótona.}
-\item[(d)]{Atendendo a que $d_1=-2$, $d_2=4$ e $d_3=-8$,
-então $d_1<d_2$ e $d_2>d_3$. Portanto a sucessão é não monótona.}
-\item[(e)]{Uma vez que $$e_{n+1}=e_n+2n+1 \sse e_{n+1}-e_n=2n+1$$ e $2n+1$ é sempre positivo,
- concluímos que a sucessão dada é monótona crescente.}
-\end{description}

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