Inequações do 2º grau

Revision as of 16:01, 16 November 2012

Inequações do 2º grau

O gráfico da função $f(x)=ax^2+bx+c$, com $a\neq0$, é uma parábola. Se $a<0$ a concavidade da parábola é voltada para baixo e se $a>0$ a concavidade é voltada para cima.

Resolver a inequação $ax^2+bx+c > 0$ é determinar os valores de $x$ para os quais a função $f$ é positiva, isto é, o gráfico da função fica acima do eixo dos $xx$.

Analogamente, resolver a inequação $ax^2+bx+c<0$ é determinar os valores de $x$ para os quais a função é negativa, ou seja, o gráfico da função fica abaixo do eixo dos $xx$.

As soluções deste tipo de inequações dependem do valor de $a$ e da posição do vértice da parábola correspondente à inequação tal como ilustram as tabelas seguintes. Recorde-se que a ordenada do vértice é dada por $y_v=\displaystyle -\frac{\Delta}{4a}$ e a abcissa é $\displaystyle x_v=-\frac{b}{2a}$, com $\Delta = b^2-4ac$.

Por exemplo a parábola $y=3x^2$, tem o vértice em $(0,0)$ e a concavidade voltada para cima, enquanto que a parábola $y=-3x^2$ tem o mesmo vértice mas a concavidade voltada para baixo.

Neste caso temos a concavidade voltada para cima, por isso $a>0$ e a parábola interseta o eixo das abcissas em dois pontos, portanto $\Delta > 0$. O vértice da parábola tem uma ordenada negativa. (Exemplo)

Neste caso temos a concavidade voltada para cima, por isso $a>0$ e a parábola interseta o eixo das abcissas apenas num ponto, portanto $\Delta = 0$. O vértice da parábola é o seu zero. (Exemplo)

Neste caso temos a concavidade voltada para cima, por isso $a>0$ e a parábola não interseta o eixo das abcissas, portanto $\Delta < 0$.

Consideremos a parábola $4x^2+x+7$. $\Delta=1-4\times 4 \times 7=-111$, logo a parábola não tem zeros. Como $a=4$, a concavidade está voltada para cima. O vértice da parábola é o ponto $\displaystyle \left(-\frac{1}{8},\frac{111}{16}\right)$. O conjunto solução de $4x^2+x+7 \le 0$ é o conjunto vazio e o conjunto solução de $4x^2+x+7>0$ ou de $4x^2+x+7\ge 0$ é $\mathbb{R}$.

Neste caso temos a concavidade voltada para baixo, por isso $a<0$ e a parábola interseta o eixo das abcissas em dois pontos, logo $\Delta >0$.

Consideremos a parábola $-2x^2+4x+6$, com $a = -2$ e $\Delta =64 $. A concavidade está voltada para baixo e a parábola tem dois zeros, $x=3$ ou $x=-1$. O vértice da parábola é $\displaystyle \left(1, 8\right)$. O conjunto solução de $-2x^2+4x+6>0$ é $]-1,3[$ e de $-2x^2+4x+6<0$ é $]-\infty,-1[ \cup ]3,+\infty[$.

Neste caso temos a concavidade voltada para baixo, por isso $a<0$ e a parábola interseta o eixo das abcissas apenas num ponto, logo $\Delta =0$.

Cosideremos a parábola $-x^2+16x-640$. Neste caso $a=-1$ e $\Delta=0$. A parábola interseta o eixo das abcissas no seu vértice, $\displaystyle \left(8,0\right)$. O conjunto solução de $-x^2+16x-64 \ge 0$ é $\{8\}$, o conjunto solução de $-x^2+16x-64 > 0$ é o conjunto vazio. O conjunto solução de $-x^2+16x-64 \le 0$ é $\mathbb{R}$ e o conjunto solução de $-x^2+16x-64 < 0$ é $\mathbb{R}\setminus \{8\}$.

Neste caso temos a concavidade voltada para baixo, por isso $a<0$ e a parábola não interseta o eixo das abcissas, logo $\Delta <0$.

Consideremos a parábola $-5x^2+5x-15$ com $a=-5$, logo concavidade voltada para baixo e $\Delta =-275$, logo a parábola não tem zeros. O seu vértice é $\displaystyle \left(\frac{1}{2},-\frac{55}{4}\right)$. O conjunto solução de $-5x^2+5x-15 \ge 0$ é o conjunto vazio. O conjunto solução de $-5x^2+5x-15<0$ ou de $-5x^2+5x-15\le 0$ é $\mathbb{R}$.

Exercícios Propostos

1. Determine o menor número natural que verifica a condição

\[ \frac{x-3}{4}-\frac{x^2+5}{4}<\frac{2x^2}{3}+10. \]

1. Determine, em $\mathbb{R}$, o conjunto solução das seguintes inequações
   1. $\displaystyle \left(x-\frac{1}{2}\right)\left(3-x\right)<0$
   2. $\displaystyle x^2-12x+27\le0$
   3. $\displaystyle x^2\ge x$
   4. $\displaystyle (x-1)^2-7\>(x-2)^2\le0$