Inequações com módulos
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| − | + | '''Nota:''' Se $g(x)\le0$ então a inequação é impossível. | |
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| − | + | Note-se que $|a| \ge 0$, qualquer que seja $a$, portanto, a condição $|a| \le 0$ é equivalente a $|a|=0$, ou seja, $a=0$. | |
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Revision as of 17:06, 16 November 2012
Inequações com módulos
Resolução de inequações do tipo $\vert f(x) \vert < g(x)$
$\displaystyle \vert f(x) \vert < g(x) \Leftrightarrow \left[ f(x)<g(x) \land f(x)>-g(x)\right] \land g(x)>0$
Nota: Se $g(x)\le0$ então a inequação é impossível.
Note-se que $|a| \ge 0$, qualquer que seja $a$, portanto, a condição $|a| \le 0$ é equivalente a $|a|=0$, ou seja, $a=0$.
\subsubsection{Exemplos}
\begin{enumerate}
\item Considere-se a inequação UNIQ742e47521500de06-MathJax-9-QINU. Então
UNIQ742e47521500de06-MathJax-33-QINU
Recorde-se que UNIQ742e47521500de06-MathJax-10-QINU, qualquer que seja a condição UNIQ742e47521500de06-MathJax-11-QINU e, além disso,
UNIQ742e47521500de06-MathJax-34-QINU
Logo a solução é UNIQ742e47521500de06-MathJax-12-QINU.
\item Seja UNIQ742e47521500de06-MathJax-13-QINU.
\begin{align*}
\vert x^2-x\vert\le2x-3 & \sse \left[ x^2-x\le2x-3 \land x^2-x\ge-(2x-3) \right] \land 2x-3\ge0 & \\
& \sse \left(x^2-x-2x+3\le0 \land x^2-x+2x-3\ge0 \right) \land 2x\ge3 & \\
& \sse \left(x^2-3x+3\le0 \land x^2+x-3\ge0 \right) \land x\ge\frac{3}{2} & \end{align*}
As duas primeiras inequações são do 2º grau.
\noindent Repare-se que UNIQ742e47521500de06-MathJax-14-QINU não admite zeros (UNIQ742e47521500de06-MathJax-15-QINU) e tem a concavidade voltada para cima (UNIQ742e47521500de06-MathJax-16-QINU), o que permite concluir que o seu gráfico está sempre acima do eixo dos UNIQ742e47521500de06-MathJax-17-QINU, ou seja, UNIQ742e47521500de06-MathJax-18-QINU é uma condição impossível. Como UNIQ742e47521500de06-MathJax-19-QINU, qualquer que seja a condição UNIQ742e47521500de06-MathJax-20-QINU, temos que a inequação dada é impossível, ou seja, o seu conjunto solução é UNIQ742e47521500de06-MathJax-21-QINU.
\end{enumerate}
\bigskip
\begin{center} \begin{tabular}{|c|} \hline \textbf{ Resolução de inequações do tipo UNIQ742e47521500de06-MathJax-22-QINU} \\ \\ UNIQ742e47521500de06-MathJax-23-QINU \\ \\ \textbf{Nota: } Se UNIQ742e47521500de06-MathJax-24-QINU inequação é sempre possível\\ \tiny{já que o módulo de um número é sempre maior ou igual a zero, logo, também é maior do que um número negativo.} \\ \hline \end{tabular} \end{center}
\noindent \textbf{Exemplo} Considere-se a inequação $\vert 3x-4\vert\ge2$. Usando as propriedades anteriores, pode-se escrever \begin{align*} \vert 3x-4\vert\ge2 & \sse 3x-4 \ge 2 \lor 3x-4\le-2 \lor \underbrace{2<0}_{\F} & \intertext{Recorde-se que UNIQ742e47521500de06-MathJax-26-QINU, qualquer que seja a condição UNIQ742e47521500de06-MathJax-27-QINU. Donde} & \sse 3x\ge 6 \lor 3x\le 2 & \\ & \sse x\ge 2 \lor x\le \frac{2}{3} \end{align*} Logo o conjunto solução é $\DS\left]-\infty,\frac{2}{3}\right]\cup[2,+\infty[$.
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\subsubsection*{Exercícios Propostos} Determine, em $\mathbb{R}$, o conjunto solução das seguintes inequações \begin{description} \item[a)]UNIQ742e47521500de06-MathJax-30-QINU; \item[b)] UNIQ742e47521500de06-MathJax-31-QINU; \item[c)] UNIQ742e47521500de06-MathJax-32-QINU\end{description}
