Outras inequações

Revision as of 00:37, 17 November 2012

Resolução de outras Inequações

O primeiro passo a realizar na resolução de uma inequação é transformá-la numa inequação equivalente cujo segundo membro seja nulo. De seguida, e sempre que possível, simplificar o primeiro membro de modo a obter um produto/quociente de expressões .

Exemplos

Exemplos

Considere-se a seguinte inequação $(x-4)(x+1)>0$.

Resolver esta inequação é determinar os valores de $x$ para os quais o produto de $x-4$ por $x+1$ é positivo. Atendendo a que o produto de dois factores só é positivo se ambos tiverem o mesmo sinal, pode-se concluir que os valores de $x$ são os que verificam as condições \begin{eqnarray*} (x-4)(x+1)>0 & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} x-4>0 \\ x+1>0 \\ \end{array} \right. \lor \left\{ \begin{array}{l} x-4<0 \\ x+1<0 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} x>4 \\ x>-1 \\ \end{array} \right. \lor \left\{ \begin{array}{l} x<4 \\ x<-1 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow & x>4 \lor x<-1 \end{eqnarray*}

Uma forma mais simples para a resolução deste tipo de inequações é a construção de uma tabela. O primeiro membro da inequação $(x-4)(x+1)>0$ tem dois fatores. O que se pretende é colocar numa tabela os intervalos em que cada um dos factores é positivo ou negativo.

Os valores que se têm de colocar nas colunas são os valores para os quais cada fator se anula, por ordem crescente. Os fatores anulam-se para $4$ e $-1$, respetivamente. Assinala-se o sinal que cada fator toma em cada intervalo. Assim a tabela tem a forma

A última linha é preenchida atendendo à regra dos sinais.

Regra dos Sinais:

• Um produto é positivo se o número de factores negativos é par
• Um produto é negativo se o número de factores negativos é ímpar

Assim \[ (x-4)(x+1)>0 \Leftrightarrow x<-1 \lor x>4, \]

ou seja, o conjunto solução da inequação é $]-\infty,-1[\cup]4,+\infty[$.

Se se pretende resolver a inequação $(x-4)(x+1)\le0$, basta observar de novo o quadro e concluir que \[ (x-4)(x+1)\le0 \Leftrightarrow -1\le x \le4 \]

Outro exemplo

Considere-se a seguinte inequação \[ \frac{x-3}{4-x}\le1 \]

Resolver uma inequação reduz-se ao problema de determinar o sinal de uma expressão. Assim, tem que se colocar o segundo membro da inequação a zero e depois transformar o primeiro membro num produto/quociente de expressões.

\begin{align*} \frac{x-3}{4-x}\le1 & \Leftrightarrow \frac{x-3}{4-x}-1\le0 & \\ & \Leftrightarrow \frac{x-3}{4-x}-\frac{4-x}{4-x}\le0 & \\ & \Leftrightarrow \frac{x-3-4+x}{4-x}\le0 & \\ & \Leftrightarrow \frac{2x-7}{4-x}\le 0 & \end{align*}

Os fatores ${2x-7}$ e ${4-x}$ anulam-se respetivamente em $\displaystyle x=\frac{7}{2}$ e $x=4$. Assim a tabela tem a forma

Note-se que, quando $x=4$, o denominador anula-se e a inequação não faz sentido e, por isso, é usual escrever-se $S/S$, que significa Sem Significado.

Pretende-se os valores que tornam negativa ou nula a fração. Assim o conjunto solução é $\displaystyle \left]-\infty,\frac{7}{2}\right] \cup ]4,+\infty[$.