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| | [[Exemplos-17|Exemplos]] | | [[Exemplos-17|Exemplos]] |
| − | ===Exemplos===
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| − | Considere-se a seguinte inequação $(x-4)(x+1)>0$.
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| − | Resolver esta inequação é determinar os valores de $x$ para os quais o produto de $x-4$ por $x+1$ é positivo. Atendendo a que o produto de dois factores só é positivo se ambos tiverem o mesmo sinal, pode-se concluir que os valores de $x$ são os que verificam as condições
| + | [[Matemática Elementar#Inequações|Voltar]] |
| − | \begin{eqnarray*}
| + | |
| − | (x-4)(x+1)>0 & \Leftrightarrow & \left\{
| + | |
| − | \begin{array}{l}
| + | |
| − | x-4>0 \\
| + | |
| − | x+1>0 \\
| + | |
| − | \end{array}
| + | |
| − | \right. \lor \left\{
| + | |
| − | \begin{array}{l}
| + | |
| − | x-4<0 \\
| + | |
| − | x+1<0 \\
| + | |
| − | \end{array}
| + | |
| − | \right. \\
| + | |
| − | & \Leftrightarrow & \left\{
| + | |
| − | \begin{array}{l}
| + | |
| − | x>4 \\
| + | |
| − | x>-1 \\
| + | |
| − | \end{array}
| + | |
| − | \right. \lor \left\{
| + | |
| − | \begin{array}{l}
| + | |
| − | x<4 \\
| + | |
| − | x<-1 \\
| + | |
| − | \end{array}
| + | |
| − | \right. \\
| + | |
| − | & \Leftrightarrow & x>4 \lor x<-1
| + | |
| − | \end{eqnarray*}
| + | |
| − | | + | |
| − | Uma forma mais simples para a resolução deste tipo de inequações é a construção de uma tabela.
| + | |
| − | O primeiro membro da inequação $(x-4)(x+1)>0$ tem dois fatores. O que se pretende é colocar numa tabela os intervalos em que cada um dos factores é positivo ou negativo.
| + | |
| − | | + | |
| − | Os valores que se têm de colocar nas colunas são os valores para os quais cada fator se anula, por ordem crescente.
| + | |
| − | Os fatores anulam-se para $4$ e $-1$, respetivamente. Assinala-se o sinal que cada fator toma em cada intervalo. Assim a tabela tem a forma
| + | |
| − | | + | |
| − | {| class="wikitable" style="text-align:center"
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | || || $-1$ || || $4$ ||
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | $x-4$ || $\hspace{3mm} - \hspace{3mm}$ || $-5$ || $\hspace{3mm} - \hspace{3mm} $ || $0$ || $\hspace{3mm} +\hspace{3mm} $
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | $x+1$ || $-$ || $0$ || $+$ || $5$ || $+$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | $(x-4)(x+1)$ || $+$ || $0$ || $-$ || $0$ || $+$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | A última linha é preenchida atendendo à regra dos sinais.
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| − | | + | |
| − | '''Regra dos Sinais:'''
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| − | | + | |
| − | * Um produto é positivo se o número de factores negativos é par
| + | |
| − | * Um produto é negativo se o número de factores negativos é ímpar
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| − |
| + | |
| − | | + | |
| − | Assim
| + | |
| − | \[
| + | |
| − | (x-4)(x+1)>0 \Leftrightarrow x<-1 \lor x>4,
| + | |
| − | \]
| + | |
| − | | + | |
| − | ou seja, o conjunto solução da inequação é $]-\infty,-1[\cup]4,+\infty[$.
| + | |
| − | | + | |
| − | Se se pretende resolver a inequação $(x-4)(x+1)\le0$, basta observar de novo o quadro e concluir que
| + | |
| − | \[
| + | |
| − | (x-4)(x+1)\le0 \Leftrightarrow -1\le x \le4
| + | |
| − | \]
| + | |
| − | | + | |
| − | ===Outro exemplo===
| + | |
| − | Considere-se a seguinte inequação
| + | |
| − | \[
| + | |
| − | \frac{x-3}{4-x}\le1
| + | |
| − | \]
| + | |
| − | | + | |
| − | Resolver uma inequação reduz-se ao problema de determinar o sinal de uma expressão. Assim, tem que se colocar o segundo membro da inequação a zero e depois transformar o primeiro membro num produto/quociente de expressões.
| + | |
| − | | + | |
| − | \begin{align*}
| + | |
| − | \frac{x-3}{4-x}\le1 & \Leftrightarrow \frac{x-3}{4-x}-1\le0 & \\
| + | |
| − | & \Leftrightarrow \frac{x-3}{4-x}-\frac{4-x}{4-x}\le0 & \\
| + | |
| − | & \Leftrightarrow \frac{x-3-4+x}{4-x}\le0 & \\
| + | |
| − | & \Leftrightarrow \frac{2x-7}{4-x}\le 0 &
| + | |
| − | \end{align*}
| + | |
| − | | + | |
| − | Os fatores ${2x-7}$ e ${4-x}$ anulam-se respetivamente em $\displaystyle x=\frac{7}{2}$ e $x=4$. Assim a tabela tem a forma
| + | |
| − | | + | |
| − | {| class="wikitable" style="text-align:center"
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | || || $\frac{7}{2}$ || || $4$ ||
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | $2x-7$ || $\hspace{3mm} - \hspace{3mm}$ || $0$ || $\hspace{3mm} + \hspace{3mm} $ || $1$ || $\hspace{3mm} +\hspace{3mm} $
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | $4-x$ || $+$ || $\frac{ 1}{2}$ || $+$ || $0$ || $-$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | $\frac{ 2x-7}{4-x}$ || $-$ || $0$ || $+$ || S/S || $-$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | Note-se que, quando $x=4$, o denominador anula-se e a inequação não faz sentido e, por isso, é usual escrever-se $S/S$, que significa ''Sem Significado''.
| + | |
| − | | + | |
| − | Pretende-se os valores que tornam negativa ou nula a fração. Assim o conjunto solução é $\displaystyle \left]-\infty,\frac{7}{2}\right] \cup ]4,+\infty[$.
| + | |
O primeiro passo a realizar na resolução de uma inequação é transformá-la numa inequação equivalente cujo segundo membro seja nulo. De seguida, e sempre que possível, simplificar o primeiro membro de modo a obter um produto/quociente de expressões .
