Funções pares e funções ímpares

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Seja $D_f\subseteq \mathbb{R}$ um conjunto simétrico em relação à origem e $f$ uma função real definida em $D_f$, $f:D_f\rightarrow \mathbb{R}$.
 
Seja $D_f\subseteq \mathbb{R}$ um conjunto simétrico em relação à origem e $f$ uma função real definida em $D_f$, $f:D_f\rightarrow \mathbb{R}$.
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* A função $f$ diz-se '''par''' se $f(-x)=f(x)$  qualquer que seja  $x \in D_f$. As funções pares têm gráficos
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* A função $f$ diz-se '''par''' se $f(-x)=f(x)$  qualquer que seja  $x \in D_f$. As funções pares têm gráficos simétricos em relação ao eixo das ordenadas.
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simétricos em relação ao eixo das ordenadas.
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* A função $f$ diz-se '''ímpar''' se $f(-x)=-f(x)$, para todo o $x \in D_f.$ As funções ímpares têm gráficos simétricos em relação à origem do referencial.
 
* A função $f$ diz-se '''ímpar''' se $f(-x)=-f(x)$, para todo o $x \in D_f.$ As funções ímpares têm gráficos simétricos em relação à origem do referencial.
  
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[[File:FuncaoPar.jpg]]  [[File:Funcaoimpar.jpg]]
  
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\begin{center}
 
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\begin{tabular}{cc}
 
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\begin{pvplot}[name=simep,unit=10mm,build](-3,3.5)(-.5,3)
 
−
\pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y]
 
−
\pvfunct[size=2]{.2*x**4-x**2+1.5:(-2.4,2.4)}
 
−
\pvpoint[x=\scriptstyle a,dash,pt](2.33,2){}
 
−
\pvpoint[x=\scriptstyle-a,dash,pt](-2.33,2){}
 
−
\end{pvplot}
 
−
&
 
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\begin{pvplot}[name=simei,unit=10mm,build](-3,3.5)(-2,2)
 
−
\pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y]
 
−
\pvfunct[size=2]{.5*x**3-1.5*x:(-2.1,2.1)}
 
−
\pvpoint[x=\scriptstyle a,y=\scriptstyle b,dash,pt](2,1){}
 
−
\pvpoint[x=\scriptstyle -a,y=\scriptstyle -b,dash,pt](-2,-1){}
 
−
\end{pvplot} \\
 
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Função par & Função ímpar \\
 
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\end{tabular}
 
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\end{center}
 
  
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[[Exemplo 11|Exemplos]]
  
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\subsubsection*{Exemplos}
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[[Exercícios propostos]]
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\begin{enumerate}
+
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    \item A função $f(x)=x|x|$ tem como domínio $\mathbb{R}$ (que é um conjunto simétrico).
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\begin{tabular}{llc}
+
[[Matemática Elementar#Funções reais de variável real|Voltar]]     [[Funções monótonas|Seguinte]]
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\begin{pvplot}[name=parabola,pos=c,unit=8mm,build](-2,3)(-2.5,4)
+
−
\pvaxes[x=x,y=y,xrange={-2,3}]
+
−
\pvfunct[size=2]{x*x:(0,2)->(0,3)}
+
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\pvfunct[size=2]{-x*x:(-2,0)->(-2,0)}
+
−
\pvpoint[x=\scriptstyle1](1,0){}
+
−
\pvpoint[x=\scriptstyle-1](-1,0){}
+
−
\pvpoint[pt](0,0){}
+
−
\pvpoint(2,3)[cb]{y=~x|x|}
+
−
\end{pvplot} & \hspace{2cm} &
+
−
\begin{tabular}{c}
+
−
Como para todo o $x \in \mathbb{R}$\\
+
−
\\
+
−
$f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),$ \\
+
−
\\
+
−
a função $f$ é ímpar. \\
+
−
\end{tabular} \\
+
−
\end{tabular}
+
−
\item A função $h(x)=\sqrt{x}$ tem como domínio o conjunto $D_h=\mathbb{R}_0^+$, que não é um conjunto simétrico, portanto a função $h$ não é par nem ímpar.
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−
 
+
−
\item A função definida por $$j(x)=\left \{\begin{array}{lcl}
+
−
x^2+1 & se & x<0 \\
+
−
& & \\
+
−
2x & se & x > 0
+
−
\end{array}
+
−
\right.$$
+
−
tem domínio $D_j=\mathbb{R} \setminus \{0\}$, que é um conjunto simétrico.
+
−
 
+
−
\begin{minipage}{2.85in}
+
−
\includegraphics[width=2.8in]{funcj}
+
−
\end{minipage}
+
−
\begin{minipage}{3.79in}
+
−
Repare que $$j(-1)=(-1)^2+1=2 \mbox{ e } j(1)=2 \cdot 1=2$$ logo $j(1)=j(-1).$
+
−
 
+
−
Esta igualdade permite concluir que a função não é ímpar, mas não permite concluir que a função é par. Contudo, por exemplo $$j(-2)=(-2)^2+1=5 \mbox{ e }j(2)=4,$$ e portanto, $j(-2) \neq j(2)$, logo $j$ não é par.
+
−
 
+
−
Podemos então afirmar que a função $j$ não é par nem ímpar.
+
−
\end{minipage}
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\end{enumerate}
+
−
 
+
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\subsubsection*{Exercícios propostos}
+
−
\begin{enumerate}
+
−
    \item Dos seguintes gráficos apenas um é de uma função par e apenas um é de uma função ímpar. Identifique-
+
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os.
+
−
 
+
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\begin{tabular}{llll}
+
−
(a) & (b) & (c) & (d) \\
+
−
\includegraphics[width=1.3in]{parouimpar1} &
+
−
\includegraphics[width=1.3in]{parouimpar2} &
+
−
\includegraphics[width=1.3in]{parouimmpar3} &
+
−
\includegraphics[width=1.3in]{parouimpar4} \\
+
−
\end{tabular}
+
−
\item Das seguintes expressões com variáveis apenas uma define uma
+
−
função ímpar e apenas uma define uma função par. Identifique-as.
+
−
 
+
−
$a( x ) = -6x^4 +12x -8$;
+
−
$b( x ) = x^3 -6x^4 +12x -8$;
+
−
$c( x ) = x^3 +12x$;
+
−
$d( x ) = -6x^4 -8$ e
+
−
$e( x ) =12x -8$
+
−
    \end{enumerate}
+

Latest revision as of 09:14, 19 November 2012

[edit] Funções pares e funções ímpares

Um conjunto $D\subseteq \mathbb{R}$ diz-se simétrico em relação à origem se cada elemento do conjunto $D$ tem o seu simétrico em $D$, i.e.,

Qualquer que seja o elemento $x \in D$ o seu simétrico $-x$ também pertence a $D$.

O conjunto $A=[-3,3]$ é simétrico, mas o conjunto $B=[-3,4]$ não é simétrico já que nem todos os pontos têm o seu simétrico em $B$, por exemplo, $4 \in B$ e $-4 \notin B$.


Seja $D_f\subseteq \mathbb{R}$ um conjunto simétrico em relação à origem e $f$ uma função real definida em $D_f$, $f:D_f\rightarrow \mathbb{R}$.

  • A função $f$ diz-se par se $f(-x)=f(x)$ qualquer que seja $x \in D_f$. As funções pares têm gráficos simétricos em relação ao eixo das ordenadas.
  • A função $f$ diz-se ímpar se $f(-x)=-f(x)$, para todo o $x \in D_f.$ As funções ímpares têm gráficos simétricos em relação à origem do referencial.

FuncaoPar.jpg Funcaoimpar.jpg


Exemplos

Exercícios propostos

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