Inequações de 1º grau
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Latest revision as of 16:02, 6 February 2013
Uma desigualdade diz que dois valores não são iguais: $a \ne b$. Uma inequação indica uma relação de maior, maior ou igual, menor ou menor ou igual entre duas expressões algébricas, por exemplo
$3x-5\le4$ ou $x^2+2>2x\cos x$ ou $e^{x^2}+2\ge x$
Uma solução ou raiz de uma inequação é um valor que, quando concretizado na variável, transforma a inequação numa proposição verdadeira, por exemplo $1$ é solução de $3x-5\le4$ pois $3\cdot1-5\le4$.
O conjunto solução é o conjunto de todas as soluções da inequação, por exemplo, o conjunto solução de $3x-5\le4$ é $]-\infty,3]$.
Inequações equivalentes têm o mesmo conjunto solução, por exemplo, $3x-5\le4$ e $3x\le9$ são equivalentes.
As regras práticas para resolver inequações têm por base os princípios de equivalência. Quando se adiciona (subtrai) a ambos os membros de uma inequação a mesma quantidade, obtém-se uma inequação equivalente, por exemplo $$x+3 \ge 7 \Leftrightarrow x+3-3\ge7-3 \Leftrightarrow x \ge 4$$ ou $$2x+5 \le x-3 \Leftrightarrow 2x+5+3 \le x-3+3 \Leftrightarrow 2x+8 \le x \Leftrightarrow 2x+8-x \le x-x \Leftrightarrow x+8 \le 0 \Leftrightarrow x+8-8 \le 0-8 \Leftrightarrow x \le -8$$
O outro principio de equivalência afirma que quando se multiplicam (dividem) ambos os membros de uma inequação por um número positivo, obtém-se uma inequação equivalente, por exemplo $$3x \ge 9 \Leftrightarrow \left(\frac{1}{3}\right)3x\ge \left(\frac{1}{3}\right)9 \Leftrightarrow \frac{3x}{3}=\frac{9}{3} \Leftrightarrow x = 3$$ Este último princípio altera-se se multiplicarmos (dividirmos) ambos os membros de uma inequação por um número negativo. Neste caso troca-se o sentido da desigualdade, já que, por exemplo, $$-x < -3 \Leftrightarrow x > 3$$ Veja-se um outro exemplo $$-2x \ge 10 \Leftrightarrow \left(-\frac{1}{2}\right)(-2x)\le \left(-\frac{1}{2}\right)10 \Leftrightarrow x\le -5$$ Atente-se que, nem sempre se usam estes princípios apenas para determinar as soluções de uma inequação. Podemos pretender obter uma inequação equivalente a uma dada e isso pode fazer-se aplicando os princípios de equivalência referidos. Por exemplo, $$2x-3 \ge 1 \Leftrightarrow (-3)(2x-3) \le (-3) \cdot 1 \Leftrightarrow -6x+9 \le -3$$
