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| − | ==Resolução de outras Inequações== | + | ==Resolução de outras inequações== |
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| | O primeiro passo a realizar na resolução de uma inequação é transformá-la numa inequação equivalente cujo segundo membro seja nulo. De seguida, e sempre que possível, simplificar o primeiro membro de modo a obter um produto/quociente de expressões . | | O primeiro passo a realizar na resolução de uma inequação é transformá-la numa inequação equivalente cujo segundo membro seja nulo. De seguida, e sempre que possível, simplificar o primeiro membro de modo a obter um produto/quociente de expressões . |
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| − | ===Exemplos===
| + | [[Exemplos-17|Exemplos]] |
| − | Considere-se a seguinte inequação $(x-4)(x+1)>0$.
| + | |
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| − | Resolver esta inequação é determinar os valores de $x$ para os quais o produto de $x-4$ por $x+1$ é positivo. Atendendo a que o produto de dois factores só é positivo se ambos tiverem o mesmo sinal, pode-se concluir que os valores de $x$ são os que verificam as condições
| + | [[Inequação racional|Exercícios resolvidos]] |
| − | \begin{eqnarray*}
| + | |
| − | (x-4)(x+1)>0 & \Leftrightarrow & \left\{
| + | |
| − | \begin{array}{l}
| + | |
| − | x-4>0 \\
| + | |
| − | x+1>0 \\
| + | |
| − | \end{array}
| + | |
| − | \right. \lor \left\{
| + | |
| − | \begin{array}{l}
| + | |
| − | x-4<0 \\
| + | |
| − | x+1<0 \\
| + | |
| − | \end{array}
| + | |
| − | \right. \\
| + | |
| − | & \Leftrightarrow & \left\{
| + | |
| − | \begin{array}{l}
| + | |
| − | x>4 \\
| + | |
| − | x>-1 \\
| + | |
| − | \end{array}
| + | |
| − | \right. \lor \left\{
| + | |
| − | \begin{array}{l}
| + | |
| − | x<4 \\
| + | |
| − | x<-1 \\
| + | |
| − | \end{array}
| + | |
| − | \right. \\
| + | |
| − | & \Leftrightarrow & x>4 \lor x<-1
| + | |
| − | \end{eqnarray*}
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| − | Uma forma mais simples para a resolução deste tipo de inequações é a construção de uma tabela.
| + | [[Matemática Elementar#Inequações|Voltar]] |
| − | O primeiro membro da inequação $(x-4)(x+1)>0$ tem dois fatores. O que se pretende é colocar numa tabela os intervalos em que cada um dos factores é positivo ou negativo.
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| − | Os valores que se têm de colocar nas colunas são os valores para os quais cada fator se anula, por ordem crescente.
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| − | Os fatores anulam-se para $4$ e $-1$, respetivamente. Assinala-se o sinal que cada fator toma em cada intervalo. Assim a tabela tem a forma
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| − | | + | |
| − | {| class="wikitable" style="text-align:center"
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| − | |-
| + | |
| − | | | width="50pt"| || $-1$ || || $4$ ||
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | $x-4$ || $-$ || $-5$ || $-$ || $0$ || $+$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | $x+1$ || $-$ || $0$ || $+$ || $5$ || $+$
| + | |
| − | |-
| + | |
| − | | $(x-4)(x+1)$ || $+$ || $0$ || $-$ || $0$ || $+$
| + | |
| − | |}
| + | |
| − | | + | |
| − | \[
| + | |
| − | \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
| + | |
| − | \multicolumn{1}{c|}{ \ } & & $-1$ & & $4$ & \\ \hline
| + | |
| − | $x-4$ & $-$ & $-5$ & $-$ & $0$ & $+$ \\ \hline
| + | |
| − | $x+1$ & $-$ & $0$ & $+$ & $5$ & $+$ \\ \hline
| + | |
| − | $(x-4)(x+1)$ & $+$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ \\
| + | |
| − | \end{tabular}
| + | |
| − | \]
| + | |
| − | A última linha é preenchida atendendo à regra dos sinais.
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| − | \[
| + | |
| − | \begin{tabular}{|c|}
| + | |
| − | \hline
| + | |
| − | \textbf{Regra dos Sinais} \\
| + | |
| − | \\
| + | |
| − | Um produto é \textbf{positivo} se o número de factores negativos é \textbf{par} \\
| + | |
| − | \\
| + | |
| − | Um produto é \textbf{negativo} se o número de factores negativos é \textbf{ímpar} \\
| + | |
| − | \hline
| + | |
| − | \end{tabular}
| + | |
| − | \]
| + | |
| − | | + | |
| − | \bigskip
| + | |
| − | | + | |
| − | \noindent Assim
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| − | \[
| + | |
| − | (x-4)(x+1)>0 \sse x<-1 \lor x>4,
| + | |
| − | \]
| + | |
| − | ou seja, o conjunto solução da inequação é $]-\infty,-1[\cup]4,+\infty[$.
| + | |
| − | | + | |
| − | \noindent Se se pretende resolver a inequação $(x-4)(x+1)\le0$, basta observar de novo o quadro e concluir que
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| − | \[
| + | |
| − | (x-4)(x+1)\le0 \sse -1\le x \le4
| + | |
| − | \]
| + | |
| − | | + | |
| − | \item Considere-se a seguinte inequação
| + | |
| − | \[
| + | |
| − | \frac{x-3}{4-x}\le1
| + | |
| − | \]
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| − | Resolver uma inequação reduz-se ao problema de determinar o sinal de uma expressão. Assim, tem que se colocar o segundo membro da inequação a zero e depois transformar o primeiro membro num produto/quociente de expressões.
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| − | \begin{align*}
| + | |
| − | \frac{x-3}{4-x}\le1 & \sse \frac{x-3}{4-x}-1\le0 & \\
| + | |
| − | & \sse \frac{x-3}{4-x}-\frac{4-x}{4-x}\le0 & \\
| + | |
| − | & \sse \frac{x-3-4+x}{4-x}\le0 & \\
| + | |
| − | & \sse \frac{2x-7}{4-x}\le 0 &
| + | |
| − | \end{align*}
| + | |
| − | Aplicando a tabela descrita no exemplo anterior, os factores anulam-se para $\DS\frac{7}{2}$ e $4$, respectivamente. Assim a tabela tem a forma
| + | |
| − | \[
| + | |
| − | \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
| + | |
| − | & & $\frac{7}{2}$ & & $4$ & \\ \hline
| + | |
| − | $2x-7$ & $-$ & $0$ & $+$ & $1$ & $+$ \\ \hline
| + | |
| − | $4-x$ & $+$ & $\frac{ 1}{2}$ & $+$ & $0$ & $-$ \\ \hline
| + | |
| − | $\frac{ 2x-7}{4-x}$ & $-$ & $0$ & $+$ & S/S & $-$ \\
| + | |
| − | \end{tabular}
| + | |
| − | \]
| + | |
| − | Note-se que, quando $x=4$, o denominador anula-se e a inequação não faz sentido e, por isso, é usual escrever-se $S/S$, que significa \textit{Sem Significado}.
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| − | \noindent Pretende-se os valores que tornam negativa ou nula a fracção. Assim o conjunto solução é $\DS\left]-\infty,\frac{7}{2}\right] \cup ]4,+\infty[$.
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| − | \end{enumerate}
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O primeiro passo a realizar na resolução de uma inequação é transformá-la numa inequação equivalente cujo segundo membro seja nulo. De seguida, e sempre que possível, simplificar o primeiro membro de modo a obter um produto/quociente de expressões .
