Função inversa

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==Inversa de uma Função==
 
==Inversa de uma Função==
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Consideremos a função $f(x)=-2x+3$. Esta função é injectiva, o que significa que a cada $y \in CD_f=\mathbb{R}$ corresponde um único $x \in D_f=\mathbb{R}$.
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Consideremos a função $f(x)=-2x+3$. Esta função é injetiva, o que significa que a cada $y \in CD_f=\mathbb{R}$ corresponde um único $x \in D_f=\mathbb{R}$.
  
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\noindent Por exemplo, $f(0)=3$ e portanto a imagem recíproca de $3$ é $0$, o que se traduz por $f^{-1}(0)=3$. Da mesma forma, como $f(1)=1$, dizemos que $f^{-1}(1)=1$; como $f(2)=-1$, dizemos que $f^{-1}(-1)=2$.
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Por exemplo, $f(0)=3$ e portanto a imagem recíproca de $3$ é $0$, o que se traduz por $f^{-1}(3)=0$. Da mesma forma, como $f(1)=1$, dizemos que $f^{-1}(1)=1$; como $f(2)=-1$, dizemos que $f^{-1}(-1)=2$.
  
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\noindent No caso geral, sendo $y=-2x+3$, resolvendo esta equação em ordem a $x$, obtemos
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No caso geral, sendo $y=-2x+3$, resolvendo esta equação em ordem a $x$, obtemos
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$\displaystyle x=-\frac{y-3}{2}$, e esta lei dá-nos a expressão da função inversa, ou seja, $\displaystyle f^{-1}(y)=-\frac{y-3}{2}$.\\
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$\displaystyle x=-\frac{y-3}{2}$, e esta lei dá-nos a expressão da função inversa, ou seja, $\displaystyle f^{-1}(y)=-\frac{y-3}{2}$.
  
  
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\noindent \textbf{Definição:} Seja  $\begin{array}{llll} f: &D_f\subset\mathbb{R} & \rightarrow &
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Seja  $\begin{array}{llll} f: &D_f\subset\mathbb{R} & \rightarrow &
 
\mathbb{R}
 
\mathbb{R}
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\end{array}$  uma função injectiva. Sendo assim, para todo o $y \in CD_f$ existe um único $x \in D_f$, tal que $y=f(x)$, ou seja, existe uma função  $f^{-1}:CD_f \longrightarrow \mathbb{R}$, com contradomínio $D_f$, definida por:
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\end{array}$  uma função injetiva. Sendo assim, para todo o $y \in CD_f$ existe um único $x \in D_f$, tal que $y=f(x)$, ou seja, existe uma função  $f^{-1}:CD_f \longrightarrow \mathbb{R}$, com contradomínio $D_f$, definida por:
 
$$f^{-1}(y)=x \mbox{ se e só se } f(x)=y, y\in CD_f$$
 
$$f^{-1}(y)=x \mbox{ se e só se } f(x)=y, y\in CD_f$$
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Tal função designa-se por \emph{\textbf{função inversa}} de $f$.\\
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Tal função designa-se por '''função inversa''' de $f$.
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Se $f$ admite função inversa, $f$ diz-se \textbf{\emph{invertível}}. Neste caso a função inversa é \textbf{única}!
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Se $f$ admite função inversa, $f$ diz-se '''invertível'''. Neste caso a função inversa é '''única'''!
  
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[[File:inversa1.jpg]]
  
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\begin{center}
 
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\begin{pvplot}[name=inv,unit=12mm,build](-.5,3.5)(-.5,3.2)
 
−
\pvgpline{f}{f(x)=x<2?1-(-log(x-1))**(1/3.0):1+(log(x-1))**(1/3.0)}
 
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\pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y]
 
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\pvfunct[add=f,size=2]{f(x):(1.1,3)->(0,7)}
 
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\pvfunct[dash=2-,size=4]{1+exp((x-1)**3):(0,2)->(0,3)}
 
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\pvfunct[dash=--.,size=2]{x:(-.3,3)}
 
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\pvpoint[dash,x=\scriptstyle a,y=\scriptstyle f(a),pt](2,1){}
 
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\pvpoint[dash,y=\scriptstyle a,x=\scriptstyle f(a),pt](1,2){}
 
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\pvpoint(3,1.8)[t]{f(x)}
 
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\pvpoint(1.8,2.9)[r]{f^{-1}(x)}
 
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\pvpoint(2.6,2.5)[l]{y=x}
 
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\end{pvplot}
 
−
\end{center}
 
  
  
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\noindent {\small \textbf{Observação:} O gráfico de $f^{-1}$ é
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'''Observação:''' O gráfico de $f^{-1}$ é
 
obtido do gráfico de $f$ por simetria em relação à
 
obtido do gráfico de $f$ por simetria em relação à
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recta $y=x$.}\\
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recta $y=x$.
  
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\noindent \textbf{Teorema:} Se $f$ é uma função invertível
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Se $f$ é uma função invertível
 
e $f^{-1}$ é a
 
e $f^{-1}$ é a
 
sua inversa, então
 
sua inversa, então
 
$$(f^{-1}\circ f)(x)=x,\; \forall x\in D_f \mbox{ e }
 
$$(f^{-1}\circ f)(x)=x,\; \forall x\in D_f \mbox{ e }
 
(f\circ f^{-1})(y)=y, \; \forall y\in D_{f^{-1}}=f(D_f)=CD_f.$$
 
(f\circ f^{-1})(y)=y, \; \forall y\in D_{f^{-1}}=f(D_f)=CD_f.$$
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A composta $f\circ f^{-1}$ é a função identidade $i_1:CD_f\longrightarrow CD_f$ e a composta $f^{-1}\circ f$ é a função identidade $i_2:D_f\rightarrow D_f$ ($i_1(y)=y$ e $i_2(x)=x$).\\
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A composta $f\circ f^{-1}$ é a função identidade $i_1:CD_f\longrightarrow CD_f$ e a composta $f^{-1}\circ f$ é a função identidade $i_2:D_f\rightarrow D_f$ ($i_1(y)=y$ e $i_2(x)=x$).
  
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\noindent \textbf{Nunca confundir} a função \mbox{inversa} com a potência de $f$ de expoente $(-1)$:
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'''Nunca confundir''' a função inversa com a potência de $f$ de expoente $(-1)$:
 
$ \displaystyle
 
$ \displaystyle
 
f^{-1}(x)\ne\bigl(f(x)\bigr)^{-1}=\frac1{f(x)}.
 
f^{-1}(x)\ne\bigl(f(x)\bigr)^{-1}=\frac1{f(x)}.
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$\\
+
$
  
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\noindent Algumas propriedades das funções invertíveis são muito importantes para a resolução de alguns problemas:
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Algumas propriedades das funções invertíveis são muito importantes para a resolução de alguns problemas:
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\begin{enumerate}
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# Se $f$ é estritamente monótona então $f$ é injectiva (e portanto invertível).
−
    \item Se $f$ é estritamente monótona então $f$ é injectiva (e portanto invertível).
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# A função $f$ é estritamente crescente [resp. decrescente] em $D_f$ se e só se a função $f^{-1}$ é estritamente crescente [resp. decrescente] em
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\item A função $f$ é estritamente crescente [resp. decrescente] em $D_f$ se e só se a função $f^{-1}$ é estritamente crescente [resp. decrescente] em
+
 
$CD_f$.
 
$CD_f$.
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\item Sejam $f$ e $g$ duas funções invertíveis.
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# Sejam $f$ e $g$ duas funções invertíveis. No seu domínio, a função composta $f\circ g$ também é invertível e a sua inversa é $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$
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No seu domínio, a função composta $f\circ g$ também é invertível e a sua inversa é $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$
+
−
\end{enumerate}
+
  
−
\subsubsection*{Exeemplo}
 
−
Determine a inversa da função $\displaystyle h(x)=\frac{1}{x-1}$.
 
  
−
\subsubsection*{Resolução}
+
[[Exemplo 20|Exemplo]]
−
A função $h$ é injectiva, o seu domínio  é $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ e o seu contradomínio é $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Para determinar a expressão da inversa vamos resolver a equação $\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$ em ordem a $x$ (não esquecendo o domínio e o contradomínio de $h$):
+
 
−
$$y=\frac{1}{x-1}\Longleftrightarrow (x-1)y=1 \Longleftrightarrow x=\frac{1+y}{y}=1+\frac{1}{y}.$$
+
[[Matemática Elementar#Funções reais de variável real|Voltar]]
−
Assim, a função inversa, $h^{-1}$, de $h$ é:
+
−
$$\begin{array}{lccl}
+
−
h^{-1}: & \mathbb{R}\setminus \{0\} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
+
−
& x & \longmapsto & \displaystyle 1+\frac{1}{x}
+
−
\end{array}$$
+
−
Observe que, efectivamente,
+
−
$$\left(h \circ h^{-1}\right)(a)=h\left(1+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{1+\frac{1}{a}-1}=a \mbox{ e }\left(h^{-1} \circ h\right)(b)=h^{-1}\left(\frac{1}{b-1}\right)=1+\frac{1}{\frac{1}{b-1}}=b.$$
+

Latest revision as of 20:01, 12 February 2013

[edit] Inversa de uma Função

Consideremos a função $f(x)=-2x+3$. Esta função é injetiva, o que significa que a cada $y \in CD_f=\mathbb{R}$ corresponde um único $x \in D_f=\mathbb{R}$.

Por exemplo, $f(0)=3$ e portanto a imagem recíproca de $3$ é $0$, o que se traduz por $f^{-1}(3)=0$. Da mesma forma, como $f(1)=1$, dizemos que $f^{-1}(1)=1$; como $f(2)=-1$, dizemos que $f^{-1}(-1)=2$.

No caso geral, sendo $y=-2x+3$, resolvendo esta equação em ordem a $x$, obtemos $\displaystyle x=-\frac{y-3}{2}$, e esta lei dá-nos a expressão da função inversa, ou seja, $\displaystyle f^{-1}(y)=-\frac{y-3}{2}$.


Seja $\begin{array}{llll} f: &D_f\subset\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \end{array}$ uma função injetiva. Sendo assim, para todo o $y \in CD_f$ existe um único $x \in D_f$, tal que $y=f(x)$, ou seja, existe uma função $f^{-1}:CD_f \longrightarrow \mathbb{R}$, com contradomínio $D_f$, definida por: $$f^{-1}(y)=x \mbox{ se e só se } f(x)=y, y\in CD_f$$ Tal função designa-se por função inversa de $f$. Se $f$ admite função inversa, $f$ diz-se invertível. Neste caso a função inversa é única!

Inversa1.jpg


Observação: O gráfico de $f^{-1}$ é obtido do gráfico de $f$ por simetria em relação à recta $y=x$.

Se $f$ é uma função invertível e $f^{-1}$ é a sua inversa, então $$(f^{-1}\circ f)(x)=x,\; \forall x\in D_f \mbox{ e } (f\circ f^{-1})(y)=y, \; \forall y\in D_{f^{-1}}=f(D_f)=CD_f.$$ A composta $f\circ f^{-1}$ é a função identidade $i_1:CD_f\longrightarrow CD_f$ e a composta $f^{-1}\circ f$ é a função identidade $i_2:D_f\rightarrow D_f$ ($i_1(y)=y$ e $i_2(x)=x$).

Nunca confundir a função inversa com a potência de $f$ de expoente $(-1)$: $ \displaystyle f^{-1}(x)\ne\bigl(f(x)\bigr)^{-1}=\frac1{f(x)}. $

Algumas propriedades das funções invertíveis são muito importantes para a resolução de alguns problemas:

  1. Se $f$ é estritamente monótona então $f$ é injectiva (e portanto invertível).
  2. A função $f$ é estritamente crescente [resp. decrescente] em $D_f$ se e só se a função $f^{-1}$ é estritamente crescente [resp. decrescente] em

$CD_f$.

  1. Sejam $f$ e $g$ duas funções invertíveis. No seu domínio, a função composta $f\circ g$ também é invertível e a sua inversa é $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$


Exemplo

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