Definição de limite
From Matemática
(Difference between revisions)
(→Definição de limite) |
(→Definição de limite) |
||
| (10 intermediate revisions by one user not shown) | |||
| Line 1: | Line 1: | ||
==Definição de limite== | ==Definição de limite== | ||
| − | No que se segue considere-se uma função $f:D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e $a \in \mathbb{R}$ tal que $D$ | + | No que se segue considere-se uma função $f:D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e $a \in \mathbb{R}$ tal que $D$ contém um |
| + | intervalo aberto de centro em $a$ com possível exceção do ponto $a$. | ||
| Line 13: | Line 14: | ||
| − | + | '''Observações:''' | |
| − | + | ||
| − | + | * Pode existir $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)$ e $a\notin D_g$. Vejamos por exemplo a função $g$ definida por $g(x)=\frac{x-1}{x^2-1}$, com domínio $D_g=\mathbb R\setminus\{1,-1\}$ e | |
| − | + | ||
| − | Pode existir $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)$ e $a\notin D_g$. Vejamos por exemplo a função $g$ definida por $g(x)=\frac{x-1}{x^2-1}$, com domínio $D_g=\mathbb R\setminus\{1,-1\}$ e | + | |
$$\displaystyle\lim_{x\to 1}g(x)= | $$\displaystyle\lim_{x\to 1}g(x)= | ||
\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-1}= | \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-1}= | ||
\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+1}=\frac12.$$ | \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+1}=\frac12.$$ | ||
| − | + | ||
| − | + | Repare-se que $\displaystyle \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x+1} \wedge x \neq 1$. Como se trata do limite quando $x$ tende para 1, $x$ é efetivamente diferente de $1$. | |
| − | + | ||
| − | + | [[File:lim2.jpg]] | |
| − | + | ||
| − | + | * O limite da função num ponto não é necessariamente a imagem da função no ponto. Considere-se por exemplo a função, | |
| − | + | {| | |
| − | + | |- | |
| − | + | |$ | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | O limite da função num ponto não é necessariamente a imagem da função no ponto. Considere-se por exemplo a função, | + | |
| − | + | ||
h(x)= | h(x)= | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
| Line 44: | Line 35: | ||
2&\text{se }x=1, | 2&\text{se }x=1, | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
| − | + | $ || | |
| − | $\displaystyle\lim_{x\to 1}h(x)=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+1}=\frac12$ e $h(1)=2$. | + | [[File:lim3.jpg]] $\displaystyle\lim_{x\to 1}h(x)=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+1}=\frac12$ e $h(1)=2$. |
| − | + | |} | |
| − | + | ||
| − | + | [[Matemática Elementar#Limites e continuidade|Voltar]] [[Continuidade|Seguinte]] | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
Latest revision as of 16:25, 14 February 2013
[edit] Definição de limite
No que se segue considere-se uma função $f:D\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ e $a \in \mathbb{R}$ tal que $D$ contém um intervalo aberto de centro em $a$ com possível exceção do ponto $a$.
Diz-se que $f$ tem limite $l \in \mathbb{R}$ quando $x$ tende para $a$ em $D$,
$$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=l,$$
se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos
de $D$, distintos de $a$ , que tende para $a$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=a$), a correspondente
sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $l$ ($\displaystyle \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=l$).
Observações:
- Pode existir $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)$ e $a\notin D_g$. Vejamos por exemplo a função $g$ definida por $g(x)=\frac{x-1}{x^2-1}$, com domínio $D_g=\mathbb R\setminus\{1,-1\}$ e
$$\displaystyle\lim_{x\to 1}g(x)= \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-1}= \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{1}{x+1}=\frac12.$$
Repare-se que $\displaystyle \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x+1} \wedge x \neq 1$. Como se trata do limite quando $x$ tende para 1, $x$ é efetivamente diferente de $1$.
- O limite da função num ponto não é necessariamente a imagem da função no ponto. Considere-se por exemplo a função,
| $ h(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac1{x+1}&\text{se }x\ne1\\ & \\ 2&\text{se }x=1, \end{cases} $ |
|
