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| | ==Função exponencial de base $a$ com $a>1$== | | ==Função exponencial de base $a$ com $a>1$== |
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| − | [[File:exp2.jpg]] {| class="wikitable" style="text-align:center" | + | | [[File:exp2.jpg]] || |
| − | |- | + | * Domínio: $\mathbb{R}$ |
| − | ! Domínio || $\mathbb{R}$
| + | * Contradomínio $\mathbb{R}^+$. |
| − | |-
| + | * Não tem zeros. |
| − | ! Contradomínio || $\mathbb{R}^+$
| + | * O gráfico interseta o eixo das ordenadas em $(0,1)$. |
| − | |-
| + | * A função é estritamente crescente em $\mathbb{R}$ e portanto injetiva. |
| − | ! Zeros || Não tem
| + | * À medida que $x$ assume valores muito elevados a função toma valores muito elevados, ou seja, se $x$ tende para $+ \infty$ a função também tende para $+\infty$: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}{a^x}=+\infty .$ |
| − | |-
| + | * Se $x<0$ mas com valores absolutos muito elevados, a função aproxima-se de $0$. Dizemos que a função $f(x)=a^x$ admite a assíntota horizontal $y=0$ quando $x$ tende para $-\infty $: $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}a^x =0.$ |
| − | ! Interseção com Oy || $(0,1)$
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| | + | ==Função exponencial de base ${\large a}$ com $0<a<1$== |
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| − | Contradomínio $\mathbb{R}^+$. Não tem zeros. O gráfico intersecta o eixo das ordenadas em $(0,1)$.
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| − | %\item
| + | | [[File:exp3.jpg]] || |
| − | %A função é \emph{contínua} em todo o domínio.
| + | * Domínio: $\mathbb{R}$ |
| − | \item
| + | * Contradomínio $\mathbb{R}^+$. |
| − | A função é estritamente crescente em $\mathbb{R}$ e portanto injectiva.
| + | * Não tem zeros. |
| − | \item
| + | * O gráfico intersecta o eixo das ordenadas em $(0,1)$. |
| − | À medida que $x$ assume valores muito elevados a função toma valores muito elevados, ou seja, se $x$ tende para $+ \infty$ a função também tende para $+\infty$: $\DS \lim_{x\rightarrow +\infty}{a^x}=+\infty .$
| + | * A função é estritamente decrescente em $\mathbb{R}$ e portanto injetiva. |
| − | \item Se $x<0$ mas com valores absolutos muito elevados, a função aproxima-se de $0$ (ver tabela acima). Dizemos que a função $f(x)=a^x$ admite a assímptota horizontal $y=0$ quando $x$ tende para $-\infty $:
| + | * À medida que $x$ assume valores muito elevados a função toma valores muito próximos de zero, ou seja, se $x$ tende para $+ \infty$ a função tende para $0$: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}{a^x}=0 .$ Dizemos que a função $f(x)=a^x$ admite a assímptota horizontal $y=0$ quando $x$ tende para $+\infty $. |
| − | $
| + | * Se $x<0$ mas com valores absolutos muito elevados, a função tende para $+\infty$. Dizemos que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}a^x =+ \infty.$ |
| − | \DS\lim_{x\to-\infty}a^x =0.
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| − | \end{itemize}
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| − | \end{minipage}
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| − | \subsubsection*{Função Exponencial de Base ${\large a}$ com $0<a<1$}
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| − | \begin{minipage}{4cm}\centering
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| − | \begin{pvplot}[name=expd,unit=10mm,build](-3,3.5)(-.5,5)
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| − | \pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y]
| + | |
| − | \pvfunct[size=2]{exp(-.6*x):(-2.7,3.2)->(0,4.5)}
| + | |
| − | \pvpoint[y={}](0,1)[r]{\ \scriptstyle1} \pvpoint[y=\scriptstyle
| + | |
| − | a,x=\scriptstyle1,dash](1,.55){} \pvpoint(2,4)[]{y=a^x}
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| − | \pvpoint(2,3)[]{\scriptstyle(0<a<1)}
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| − | \end{pvplot}
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| − | \end{minipage}
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| − | \begin{minipage}{115mm}%\centering
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| − | \begin{itemize}
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| − | Domínio $\mathbb{R}$. Contradomínio $\mathbb{R}^+$. Não tem zeros. O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto $(0,1)$. | + | |
| − | %\item
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| − | %Contínua em todo o domínio.
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| − | \item
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| − | A função é estritamente decrescente em $\mathbb{R}$ e portanto injectiva. | + | |
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| − | \item
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| − | À medida que $x$ assume valores muito elevados a função toma valores muito próximos de zero, ou seja, se $x$ tende para $+ \infty$ a função tende para $0$: $\DS \lim_{x\rightarrow +\infty}{a^x}=0 .$ Dizemos que a função $f(x)=a^x$ admite a assímptota horizontal $y=0$ quando $x$ tende para $+\infty $ | + | |
| − | \item Se $x<0$ mas com valores absolutos muito elevados, a função tende para $+\infty$. Dizemos que quando $x$ tende para $-\infty $ a função tende para $+\infty$:
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| − | $
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| − | \DS\lim_{x\to-\infty}a^x =+\infty.
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| − | $ | + | |
| − | \end{itemize}
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| − | \end{minipage}
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| − | \noindent Em ambos os casos, $a>1$ e $0<a<1$, a função é estritamente monótona, contínua\footnote{Entenda-se por contínua que o seu gráfico pode ser traçado no seu domínio - o intervalo, $]-\infty,\infty[$ - sem levantar o lápis do papel, ou sem saltos.}, nunca se anula e intersecta o eixo das ordenadas em $(0,1)$.
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| − | \subsubsection{Propriedades da exponencial}
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| − | Recordando algumas das propriedades das potências, podemos formular propriedades análogas para a função exponencial.
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| − | \noindent Sejam $a>0$, $b>0$ e $ x, y\in \mathbb{R}$, então:
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| − | \begin{tabular}{llllllllll}
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| − | (a)&$\DS a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ & (b) & $(a^x)^y=a^{xy}$ & (c) & $a^xa^y=a^{x+y}$ &
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| − | (d) & $(ab)^x=a^xb^x$ & (e)&$a^0=1$ \\
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| − | \end{tabular}
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| − | \vspace{2mm}
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| − | \noindent Destas propriedades pode observar-se que a função exponencial transforma um produto numa soma. Seja por exemplo $f(x)=5^x$. Então, $$f(x) \times f(y)=5^x \times 5^y = 5^{x+y}=f(x+y).$$
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| − | \subsubsection*{Exemplos}
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| − | \begin{enumerate}
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| − | \item Determinar a solução da equação $e^x=e^{-x}$.\\
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| − | Como a função exponencial é injectiva temos
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| − | $$e^x=e^{-x}\Leftrightarrow x=-x \Leftrightarrow 2x=0 \Leftrightarrow x = 0$$
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| − | \item Determinar os valores de $x$ tais que $\DS 2^x\leq \frac{1}{2}$.\\
| + | |
| − | Como a função $f(x)=2^x$ é estritamente crescente e $\DS \frac{1}{2}=2^{-1}$, temos $$2^x\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2^x\leq 2^{-1}
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| − | \Leftrightarrow x\leq -1 $$
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| − | \item O conjunto solução de $4^x-3\cdot 2^x+2\leq 0$ obtém-se resolvendo a inequação $y^2-3y+2\leq 0$, com $y=2^x$. Repare-se que $\DS y^2=\left(2^x\right)^2=\left(2^2\right)^x=4^x$.
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| − | $$y^2-3y+2\leq 0 \Leftrightarrow 1\leq y\leq
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| − | 2,$$
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| − | porque a função dada pela equação $y^2-3y+2$ é representada graficamente por uma parábola de zeros $1$ e $2$ e concavidade voltada para cima. Então, como a função exponencial $f(x)=2^x$ é crescente,
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| − | $$2^0\leq 2^x\leq 2^1\Leftrightarrow 0\leq x\leq 1.$$
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| − | Assim, o conjunto solução da inequação é
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| − | $[0,1]$.\\
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| − | \item Para determinar os valores de $x$ que satisfazem $\DS \frac{1-2^{3x-1}}{3^{x^2-2}-9}\geq 0$, começamos por determinar os zeros do numerador e do
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| − | denominador:
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| − | $$1-2^{3x-1}=0 \Leftrightarrow 2^{3x-1}=1 \Leftrightarrow 2^{3x-1}=2^0 \Leftrightarrow
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| − | 3x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\hspace{1cm}\mbox{(pela injectividade)}$$
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| − | $$3^{x^2-2}-9=0 \Leftrightarrow 3^{x^2-2}=3^2 \Leftrightarrow
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| − | x^2-2=2 \Leftrightarrow x^2-4=0
| + | |
| − | \Leftrightarrow x=2 \vee x=-2$$
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| − | Como a função exponencial de base maior do que $1$ é crescente, podemos construir a seguinte tabela de variação de sinal:
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| − | % $1-2^{3x-1}>0
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| − | %\Longleftrightarrow 2^{3x-1}<2^0 \Longleftrightarrow
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| − | %3x-1<0 \Longleftrightarrow x<\frac{1}{3}$\\
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| − | %$3^{x^2-2}-9>0 \Longleftrightarrow 3^{x^2-2}>3^2
| + | |
| − | %\Longleftrightarrow x^2-4>0 \Longleftrightarrow x<-2 \vee x>2.$\\
| + | |
| − | %$C.S.=]-\infty,-2[\cup[\frac{1}{3},2[$
| + | |
| − | $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
| + | |
| − | & \hspace{6mm} & -2 &\hspace{6mm} & \frac{1}{3} & \hspace{6mm}& 2 &
| + | |
| − | \hspace{6mm}
| + | |
| − | \\ \hline 1-2^{3x-1} & + & + & + & 0 & - & - & - \\
| + | |
| − | \hline 3^{x^2-2}-9 & + & 0 & - & - & -& 0 & + \\
| + | |
| − | \hline & & & & & & & \\
| + | |
| − | \DS \frac{1-2^{3x-1}}{3^{x^2-2}-9} &+&\mbox{SS}& - & 0& + &\mbox{SS} &- \\
| + | |
| − | \\
| + | |
| − | \end{array}$$
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| − | Assim, o conjunto solução da inequação dada é:
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| − | $$\mbox{C.S.}=\left]-\infty,-2\right[ \cup \left[\frac{1}{3},2\right[$$
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| − | | + | |
| − | \item Para resolver a inequação $x^{2}e^{x+1}-xe^{x+2}<0$, podemos pôr em evidência o factor $xe^{x+1}$ para posteriormente aplicar a lei do anulamento do produto:
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| − | $$x^{2}e^{x+1}-xe^{x+2}= xe^{x+1}(x-e)$$
| + | |
| − | Assim,
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| − | $$xe^{x+1}(x-e)=0 \Leftrightarrow xe^{x+1}=0 \vee (x-e)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=e $$
| + | |
| − | Como $e^{x+1}>0, \forall x \in \mathbb{R}$, o sinal de $xe^{x+1}$ apenas depende do sinal de $x$. Então,
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| − | $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
| + | |
| − | & \hspace{6mm} & 0& &e& \hspace{6mm}
| + | |
| − | \\ \hline
| + | |
| − | xe^{x+1} & - & 0 & + & + &+ \\
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| − | \hline
| + | |
| − | x-e & - & - & - &0 & + \\
| + | |
| − | \hline
| + | |
| − | \DS x^{2}e^{x+1}-xe^{x+2}=xe^{x+1}(x-e) &+&0& - & 0& + \\
| + | |
| − | \end{array}$$
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| − | O conjunto solução da inequação é:
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| − | $$\mbox{C.S.}=]0,e[.$$
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| − | \item Determinar os parâmetros $a$ e $b$ para que a expressão $y=a+b^{x+1}$ defina
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| − | uma função cujo gráfico intersecte o eixo das ordenadas ($yy$) no ponto de
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| − | ordenada $7$ e tenha por assímptota a recta de equação $y=2$, isto é, quando $x$ tende para $+\infty$ ou $-\infty$ (dependendo de $b>1$ ou $0<b<1$), $f(x)$ tende para 2.\\
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| − | Se o gráfico da função de equação $y=a+b^{x+1}$ intersecta o eixo das ordenadas em $(0,7)$ isto significa que $a+b^{0+1}=a+b=7$. Como $b^{x+1}$ tem como assímptota a recta $y=0$ (quando $x$ tende para $+\infty$ se $0<b<1$ ou quando $x$ tende para $-\infty$ se $b>1$), resulta que $\DS a+b^{x+1}$ tem como assímptota a recta horizontal $y=a$. Então $a=2$ e portanto $b=5$.
| + | Em ambos os casos, $a>1$ e $0<a<1$, a função é estritamente monótona, contínua (entenda-se por contínua que o seu gráfico pode ser traçado no seu domínio - o intervalo, $]-\infty,\infty[$ - sem levantar o lápis do papel, ou sem saltos), nunca se anula e interseta o eixo das ordenadas em $(0,1)$. |
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| − | Poderíamos interpretar o problema usando a translação de gráficos de funções. A função $y=a+b^{x+1}$ resulta da translação associada ao vector $(-1,a)$ do gráfico da função dada por $y=b^x$(o gráfico desloca-se uma unidade para a esquerda e $a$ unidades na vertical - para cima se $a>0$ e para baixo se $a<0$). Como a recta $y=0$ é a única assímptota do gráfico de $y=b^x$, a recta $y=a$ é a única assímptota do gráfico de $y=a+b^{x+1}$. Podemos então afirmar que $a=2$.
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| − | Como o gráfico da função passa pelo ponto
| + | [[Matemática Elementar#Função exponencial|Voltar]] [[Propriedades|Seguinte]] |
| − | $(0,7)$, substituindo $x=0$ e $y=7$ na equação que traduz a expressão da função, temos
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| − | $$7=2+b^{0+1}\Leftrightarrow b=5.$$
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| − | A função que satisfaz as condições do problema é
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| − | $$y=2+5^{x+1}.$$
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| − | \end{enumerate}
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Em ambos os casos, $a>1$ e $0<a<1$, a função é estritamente monótona, contínua (entenda-se por contínua que o seu gráfico pode ser traçado no seu domínio - o intervalo, $]-\infty,\infty[$ - sem levantar o lápis do papel, ou sem saltos), nunca se anula e interseta o eixo das ordenadas em $(0,1)$.
