Exemplos 4
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Determinar a solução da equação $e^x=e^{-x}$. | Determinar a solução da equação $e^x=e^{-x}$. | ||
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$$e^x=e^{-x}\Leftrightarrow x=-x \Leftrightarrow 2x=0 \Leftrightarrow x = 0$$ | $$e^x=e^{-x}\Leftrightarrow x=-x \Leftrightarrow 2x=0 \Leftrightarrow x = 0$$ | ||
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| − | O conjunto solução de $4^x-3\cdot 2^x+2\leq 0$ obtém-se resolvendo a inequação $y^2-3y+2\leq 0$, com $y=2^x$. Repare-se que $\ | + | O conjunto solução de $4^x-3\cdot 2^x+2\leq 0$ obtém-se resolvendo a inequação $y^2-3y+2\leq 0$, com $y=2^x$. Repare-se que $\displaystyle y^2=\left(2^x\right)^2=\left(2^2\right)^x=4^x$. |
$$y^2-3y+2\leq 0 \Leftrightarrow 1\leq y\leq | $$y^2-3y+2\leq 0 \Leftrightarrow 1\leq y\leq | ||
2,$$ | 2,$$ | ||
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$$2^0\leq 2^x\leq 2^1\Leftrightarrow 0\leq x\leq 1.$$ | $$2^0\leq 2^x\leq 2^1\Leftrightarrow 0\leq x\leq 1.$$ | ||
Assim, o conjunto solução da inequação é | Assim, o conjunto solução da inequação é | ||
| − | $[0,1]$. | + | $[0,1]$. |
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| + | Para determinar os valores de $x$ que satisfazem $\displaystyle \frac{1-2^{3x-1}}{3^{x^2-2}-9}\geq 0$, começamos por determinar os zeros do numerador e do | ||
denominador: | denominador: | ||
$$1-2^{3x-1}=0 \Leftrightarrow 2^{3x-1}=1 \Leftrightarrow 2^{3x-1}=2^0 \Leftrightarrow | $$1-2^{3x-1}=0 \Leftrightarrow 2^{3x-1}=1 \Leftrightarrow 2^{3x-1}=2^0 \Leftrightarrow | ||
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\Leftrightarrow x=2 \vee x=-2$$ | \Leftrightarrow x=2 \vee x=-2$$ | ||
Como a função exponencial de base maior do que $1$ é crescente, podemos construir a seguinte tabela de variação de sinal: | Como a função exponencial de base maior do que $1$ é crescente, podemos construir a seguinte tabela de variação de sinal: | ||
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$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} | $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} | ||
& \hspace{6mm} & -2 &\hspace{6mm} & \frac{1}{3} & \hspace{6mm}& 2 & | & \hspace{6mm} & -2 &\hspace{6mm} & \frac{1}{3} & \hspace{6mm}& 2 & | ||
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\hline 3^{x^2-2}-9 & + & 0 & - & - & -& 0 & + \\ | \hline 3^{x^2-2}-9 & + & 0 & - & - & -& 0 & + \\ | ||
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$$\mbox{C.S.}=\left]-\infty,-2\right[ \cup \left[\frac{1}{3},2\right[$$ | $$\mbox{C.S.}=\left]-\infty,-2\right[ \cup \left[\frac{1}{3},2\right[$$ | ||
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| − | + | Para resolver a inequação $x^{2}e^{x+1}-xe^{x+2}<0$, podemos pôr em evidência o factor $xe^{x+1}$ para posteriormente aplicar a lei do anulamento do produto: | |
| + | $$x^{2}e^{x+1}-xe^{x+2}= xe^{x+1}(x-e)$$ | ||
Assim, | Assim, | ||
$$xe^{x+1}(x-e)=0 \Leftrightarrow xe^{x+1}=0 \vee (x-e)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=e $$ | $$xe^{x+1}(x-e)=0 \Leftrightarrow xe^{x+1}=0 \vee (x-e)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=e $$ | ||
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x-e & - & - & - &0 & + \\ | x-e & - & - & - &0 & + \\ | ||
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O conjunto solução da inequação é: | O conjunto solução da inequação é: | ||
$$\mbox{C.S.}=]0,e[.$$ | $$\mbox{C.S.}=]0,e[.$$ | ||
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| − | + | ===Exemplo 6=== | |
| + | Determinar os parâmetros $a$ e $b$ para que a expressão $y=a+b^{x+1}$ defina | ||
| + | uma função cujo gráfico intersete o eixo das ordenadas ($yy$) no ponto de | ||
| + | ordenada $7$ e tenha por assímptota a reta de equação $y=2$, isto é, quando $x$ tende para $+\infty$ ou $-\infty$ (dependendo de $b>1$ ou $0<b<1$), $f(x)$ tende para 2. | ||
| − | Poderíamos interpretar o problema usando a translação de gráficos de funções. A função $y=a+b^{x+1}$ resulta da translação associada ao vector $(-1,a)$ do gráfico da função dada por $y=b^x$(o gráfico desloca-se uma unidade para a esquerda e $a$ unidades na vertical - para cima se $a>0$ e para baixo se $a<0$). Como a | + | Se o gráfico da função de equação $y=a+b^{x+1}$ intersecta o eixo das ordenadas em $(0,7)$ isto significa que $a+b^{0+1}=a+b=7$. Como $b^{x+1}$ tem como assímptota a reta $y=0$ (quando $x$ tende para $+\infty$ se $0<b<1$ ou quando $x$ tende para $-\infty$ se $b>1$), resulta que $\displaystyle a+b^{x+1}$ tem como assímptota a reta horizontal $y=a$. Então $a=2$ e portanto $b=5$. |
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| + | Poderíamos interpretar o problema usando a translação de gráficos de funções. A função $y=a+b^{x+1}$ resulta da translação associada ao vector $(-1,a)$ do gráfico da função dada por $y=b^x$(o gráfico desloca-se uma unidade para a esquerda e $a$ unidades na vertical - para cima se $a>0$ e para baixo se $a<0$). Como a reta $y=0$ é a única assímptota do gráfico de $y=b^x$, a reta $y=a$ é a única assímptota do gráfico de $y=a+b^{x+1}$. Podemos então afirmar que $a=2$. | ||
Como o gráfico da função passa pelo ponto | Como o gráfico da função passa pelo ponto | ||
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A função que satisfaz as condições do problema é | A função que satisfaz as condições do problema é | ||
$$y=2+5^{x+1}.$$ | $$y=2+5^{x+1}.$$ | ||
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| + | [[Matemática Elementar#Função exponencial|Voltar]] | ||
Latest revision as of 16:37, 14 February 2013
Contents |
[edit] Exemplo 1
Determinar a solução da equação $e^x=e^{-x}$.
Como a função exponencial é injetiva temos $$e^x=e^{-x}\Leftrightarrow x=-x \Leftrightarrow 2x=0 \Leftrightarrow x = 0$$
[edit] Exemplo 2
Determinar os valores de $x$ tais que $\displaystyle 2^x\leq \frac{1}{2}$.
Como a função $f(x)=2^x$ é estritamente crescente e $\displaystyle \frac{1}{2}=2^{-1}$, temos $$2^x\leq \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2^x\leq 2^{-1} \Leftrightarrow x\leq -1 $$
[edit] Exemplo 3
O conjunto solução de $4^x-3\cdot 2^x+2\leq 0$ obtém-se resolvendo a inequação $y^2-3y+2\leq 0$, com $y=2^x$. Repare-se que $\displaystyle y^2=\left(2^x\right)^2=\left(2^2\right)^x=4^x$. $$y^2-3y+2\leq 0 \Leftrightarrow 1\leq y\leq 2,$$ porque a função dada pela equação $y^2-3y+2$ é representada graficamente por uma parábola de zeros $1$ e $2$ e concavidade voltada para cima. Então, como a função exponencial $f(x)=2^x$ é crescente, $$2^0\leq 2^x\leq 2^1\Leftrightarrow 0\leq x\leq 1.$$ Assim, o conjunto solução da inequação é $[0,1]$.
[edit] Exemplo 4
Para determinar os valores de $x$ que satisfazem $\displaystyle \frac{1-2^{3x-1}}{3^{x^2-2}-9}\geq 0$, começamos por determinar os zeros do numerador e do denominador: $$1-2^{3x-1}=0 \Leftrightarrow 2^{3x-1}=1 \Leftrightarrow 2^{3x-1}=2^0 \Leftrightarrow 3x-1=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\hspace{1cm}\mbox{(pela injectividade)}$$ $$3^{x^2-2}-9=0 \Leftrightarrow 3^{x^2-2}=3^2 \Leftrightarrow x^2-2=2 \Leftrightarrow x^2-4=0 \Leftrightarrow x=2 \vee x=-2$$ Como a função exponencial de base maior do que $1$ é crescente, podemos construir a seguinte tabela de variação de sinal: $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} & \hspace{6mm} & -2 &\hspace{6mm} & \frac{1}{3} & \hspace{6mm}& 2 & \hspace{6mm} \\ \hline 1-2^{3x-1} & + & + & + & 0 & - & - & - \\ \hline 3^{x^2-2}-9 & + & 0 & - & - & -& 0 & + \\ \hline & & & & & & & \\ \frac{1-2^{3x-1}}{3^{x^2-2}-9} &+&\mbox{SS}& - & 0& + &\mbox{SS} &- \\ \\ \end{array}$$ Assim, o conjunto solução da inequação dada é: $$\mbox{C.S.}=\left]-\infty,-2\right[ \cup \left[\frac{1}{3},2\right[$$
[edit] Exemplo 5
Para resolver a inequação $x^{2}e^{x+1}-xe^{x+2}<0$, podemos pôr em evidência o factor $xe^{x+1}$ para posteriormente aplicar a lei do anulamento do produto: $$x^{2}e^{x+1}-xe^{x+2}= xe^{x+1}(x-e)$$ Assim, $$xe^{x+1}(x-e)=0 \Leftrightarrow xe^{x+1}=0 \vee (x-e)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=e $$ Como $e^{x+1}>0, \forall x \in \mathbb{R}$, o sinal de $xe^{x+1}$ apenas depende do sinal de $x$. Então, $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} & \hspace{6mm} & 0& &e& \hspace{6mm} \\ \hline xe^{x+1} & - & 0 & + & + &+ \\ \hline x-e & - & - & - &0 & + \\ \hline \displaystyle x^{2}e^{x+1}-xe^{x+2}=xe^{x+1}(x-e) &+&0& - & 0& + \\ \end{array}$$ O conjunto solução da inequação é: $$\mbox{C.S.}=]0,e[.$$
[edit] Exemplo 6
Determinar os parâmetros $a$ e $b$ para que a expressão $y=a+b^{x+1}$ defina uma função cujo gráfico intersete o eixo das ordenadas ($yy$) no ponto de ordenada $7$ e tenha por assímptota a reta de equação $y=2$, isto é, quando $x$ tende para $+\infty$ ou $-\infty$ (dependendo de $b>1$ ou $0<b<1$), $f(x)$ tende para 2.
Se o gráfico da função de equação $y=a+b^{x+1}$ intersecta o eixo das ordenadas em $(0,7)$ isto significa que $a+b^{0+1}=a+b=7$. Como $b^{x+1}$ tem como assímptota a reta $y=0$ (quando $x$ tende para $+\infty$ se $0<b<1$ ou quando $x$ tende para $-\infty$ se $b>1$), resulta que $\displaystyle a+b^{x+1}$ tem como assímptota a reta horizontal $y=a$. Então $a=2$ e portanto $b=5$.
Poderíamos interpretar o problema usando a translação de gráficos de funções. A função $y=a+b^{x+1}$ resulta da translação associada ao vector $(-1,a)$ do gráfico da função dada por $y=b^x$(o gráfico desloca-se uma unidade para a esquerda e $a$ unidades na vertical - para cima se $a>0$ e para baixo se $a<0$). Como a reta $y=0$ é a única assímptota do gráfico de $y=b^x$, a reta $y=a$ é a única assímptota do gráfico de $y=a+b^{x+1}$. Podemos então afirmar que $a=2$.
Como o gráfico da função passa pelo ponto $(0,7)$, substituindo $x=0$ e $y=7$ na equação que traduz a expressão da função, temos $$7=2+b^{0+1}\Leftrightarrow b=5.$$ A função que satisfaz as condições do problema é $$y=2+5^{x+1}.$$
