Função logarítmica

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* Domínio $\mathbb{R}^+$. Contradomínio $\mathbb{R}$.
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* A função tem um único zero em  $x=1$. O gráfico de $g$ não intersecta o eixo das ordenadas.
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* É uma função contínua em todo o domínio.
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* A função é estritamente crescente em $\mathbb{R}$ e portanto injetiva.
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* Se $x>0$ está próximo de $0$, $g(x)$ toma valores negativos de valor absoluto muito elevado. Dizemos que $$\displaystyle \lim_{x\to{0^+} }\log_a x =-\infty ,$$ ou que $x=0$ é uma assímptota vertical ao gráfico de $g$.
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*Se $x$ toma valores muito elevados, isto é, se $x$ tende para $+\infty$, a função $g$ também assume valores muito elevados tende para $+\infty$, e escrevemos
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$$\displaystyle \lim_{x\to +\infty }\log_a x =+\infty .$$
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Observe-se que:
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* se $a=e$, temos $\ln{0.1}\approx -2.3$,  $\ln{10^{-7}}\approx -13.8$, $\ln{10^{-10}}\approx-23.0$, $\ldots$.
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* se $a=1.1$, $\log_{1.1}{0.1}\approx -24.2$, $\log_{1.1}{10^{-7}}\approx -169.1$, $\ldots$.
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* $\ln{10}\approx 2.3$,  $\ln{10^{7}}\approx 16.1$, $\ln{10^{10}}\approx 23.0$, $\ldots$.
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* $\log_{1.1}{10}\approx 24.2$, $\log_{1.1}{10^{7}}\approx 169.1$, $\ldots$.
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\item Domínio $\mathbb{R}^+$. Contradomínio $\mathbb{R}$.
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\item A função tem um único zero em  $x=1$. O gráfico de $g$ não intersecta o eixo das ordenadas.
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\item É uma função \emph{contínua} em todo o domínio.
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\item A função é estritamente crescente em $\mathbb{R}$ e portanto injectiva.
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\item Se $x>0$ está próximo de $0$, $g(x)$ toma valores negativos de valor absoluto muito elevado\footnote{Se $a=e$, temos $\ln{0.1}\approx -2.3$,  $\ln{10^{-7}}\approx -13.8$, $\ln{10^{-10}}\approx-23.0$, $\ldots$ \\ Se $a=1.1$, $\log_{1.1}{0.1}\approx -24.2$, $\log_{1.1}{10^{-7}}\approx -169.1$, $\ldots$ }. Dizemos que $$\DS \lim_{x\to{0^+} }\log_a x
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=-\infty ,$$ ou que $x=0$ é uma assímptota vertical ao gráfico de $g$.
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\item Se $x$ toma valores muito elevados, isto é, se $x$ tende para $+\infty$, a função $g$ também assume valores muito elevados\footnote{$\ln{10}\approx 2.3$,  $\ln{10^{7}}\approx 16.1$, $\ln{10^{10}}\approx 23.0$, $\ldots$ \\ Se $a=1.1$, $\log_{1.1}{10}\approx 24.2$, $\log_{1.1}{10^{7}}\approx 169.1$, $\ldots$}, tende para $+\infty$, e escrevemos
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$$\DS \lim_{x\to +\infty }\log_a x =+\infty .$$
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===Função logarítmica de base $a$, com $0<a<1$===
 
===Função logarítmica de base $a$, com $0<a<1$===
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\begin{pvplot}[name=logd,unit=10mm,build](-.5,5)(-2.5,3)
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\pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y]
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* Domínio $\mathbb{R}^+$. Contradomínio $\mathbb{R}$.
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\pvfunct[size=2]{-5*log(x)/3:(0,4.5)->(-2.2,2.7)}
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* O gráfico de $g$ intersecta o eixo das abcissas no ponto $(1,0)$ e não intersecta o eixo das ordenadas.
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\pvpoint[x={}](1,0)[t]{\scriptstyle1} \pvpoint[y=\scriptstyle
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* A função é \emph{contínua} em todo o domínio.
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1,x=\scriptstyle a,dash](.55,1){} \pvpoint(3,2)[]{y=\log_ax}
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* A função é estritamente decrescente em $\mathbb{R}$ e portanto injetiva.
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\pvpoint(3,1)[]{\scriptstyle(0<a<1)}
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* Se $x>0$ está próximo de $0$, $g(x)$ toma valores  muito elevados. Dizemos que $$\displaystyle \lim_{x\to{0^+} }\log_a x
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\item Domínio $\mathbb{R}^+$. Contradomínio $\mathbb{R}$.
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\item O gráfico de $g$ intersecta o eixo das abcissas no ponto $(1,0)$ e não intersecta o eixo das ordenadas.
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\item A função é \emph{contínua} em todo o domínio.
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\item A função é estritamente decrescente em $\mathbb{R}$ e portanto injectiva.
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\item Se $x>0$ está próximo de $0$, $g(x)$ toma valores  muito elevados. Dizemos que $$\DS \lim_{x\to{0^+} }\log_a x
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=+\infty ,$$ ou que $x=0$ é uma assímptota vertical ao gráfico de $g$.
 
=+\infty ,$$ ou que $x=0$ é uma assímptota vertical ao gráfico de $g$.
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\item Se $x$ toma valores muito elevados, isto é, se $x$ tende para $+\infty$, a função $g$ também assume valores muito elevados em módulo, mas negativos, isto é,  tende para $-\infty$ e escrevemos
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* Se $x$ toma valores muito elevados, isto é, se $x$ tende para $+\infty$, a função $g$ também assume valores muito elevados em módulo, mas negativos, isto é,  tende para $-\infty$ e escrevemos
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$$\DS \lim_{x\to+\infty }\log_a x =-\infty.$$
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$$\displaystyle \lim_{x\to+\infty }\log_a x =-\infty.$$
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Latest revision as of 17:08, 14 February 2013

Chama-se função logarítmica de base $a$, com $a>0$ e $a\neq 1$, à correspondência $$\begin{array}{llll} g: &\mathbb{R^+} & \longrightarrow& \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & \log_a{x}, \end{array}$$

A função logarítmica é a inversa da função exponencial, isto é, $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{llll} f: &\mathbb{R} &\longrightarrow & \mathbb{R} \\ & y & \longmapsto & x=a^y \end{array} & \hspace{1cm} & \begin{array}{llll} f^{-1}=g: &\mathbb{R^+} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & y=\log_a{x} \end{array} \end{array} $$ Como o domínio da exponencial é $\mathbb{R}$ e o contradomínio é $\mathbb{R}^+$, o domínio da função logarítmica é $\mathbb{R}^+$, o contradomínio da exponencial, e o contradomínio da função logarítmica é $\mathbb{R}$, o domínio da exponencial. Note-se que, pelas propriedades dos logaritmos, temos $$\left(f^{-1}\circ f\right)(x)=\log_a{a^x}=x \hspace{0.5cm} \mbox{ e }\hspace{0.5cm} \left(f\circ f^{-1}\right)(y)=a^{\log_a{y}}=y.$$

[edit] Função logarítmica de base $a$, com $a>1$

Log1.jpg
  • Domínio $\mathbb{R}^+$. Contradomínio $\mathbb{R}$.
  • A função tem um único zero em $x=1$. O gráfico de $g$ não intersecta o eixo das ordenadas.
  • É uma função contínua em todo o domínio.
  • A função é estritamente crescente em $\mathbb{R}$ e portanto injetiva.
  • Se $x>0$ está próximo de $0$, $g(x)$ toma valores negativos de valor absoluto muito elevado. Dizemos que $$\displaystyle \lim_{x\to{0^+} }\log_a x =-\infty ,$$ ou que $x=0$ é uma assímptota vertical ao gráfico de $g$.
  • Se $x$ toma valores muito elevados, isto é, se $x$ tende para $+\infty$, a função $g$ também assume valores muito elevados tende para $+\infty$, e escrevemos

$$\displaystyle \lim_{x\to +\infty }\log_a x =+\infty .$$


Observe-se que:

  • se $a=e$, temos $\ln{0.1}\approx -2.3$, $\ln{10^{-7}}\approx -13.8$, $\ln{10^{-10}}\approx-23.0$, $\ldots$.
  • se $a=1.1$, $\log_{1.1}{0.1}\approx -24.2$, $\log_{1.1}{10^{-7}}\approx -169.1$, $\ldots$.
  • $\ln{10}\approx 2.3$, $\ln{10^{7}}\approx 16.1$, $\ln{10^{10}}\approx 23.0$, $\ldots$.
  • $\log_{1.1}{10}\approx 24.2$, $\log_{1.1}{10^{7}}\approx 169.1$, $\ldots$.

[edit] Função logarítmica de base $a$, com $0<a<1$

Log2.jpg
  • Domínio $\mathbb{R}^+$. Contradomínio $\mathbb{R}$.
  • O gráfico de $g$ intersecta o eixo das abcissas no ponto $(1,0)$ e não intersecta o eixo das ordenadas.
  • A função é \emph{contínua} em todo o domínio.
  • A função é estritamente decrescente em $\mathbb{R}$ e portanto injetiva.
  • Se $x>0$ está próximo de $0$, $g(x)$ toma valores muito elevados. Dizemos que $$\displaystyle \lim_{x\to{0^+} }\log_a x =+\infty ,$$ ou que $x=0$ é uma assímptota vertical ao gráfico de $g$.
  • Se $x$ toma valores muito elevados, isto é, se $x$ tende para $+\infty$, a função $g$ também assume valores muito elevados em módulo, mas negativos, isto é, tende para $-\infty$ e escrevemos

$$\displaystyle \lim_{x\to+\infty }\log_a x =-\infty.$$

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