Inequações do 2º grau

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O gráfico da função $f(x)=ax^2+bx+c$, com $a\neq0$, é uma parábola. Se $a<0$ a concavidade da parábola é voltada para baixo e se $a>0$  a concavidade é voltada para cima.
 
O gráfico da função $f(x)=ax^2+bx+c$, com $a\neq0$, é uma parábola. Se $a<0$ a concavidade da parábola é voltada para baixo e se $a>0$  a concavidade é voltada para cima.
  
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Resolver a inequação $ax^2+bx+c > 0$ é determinar os valores de $x$ para os quais a função $f$ é positiva, isto é, o gráfico da função fica '''acima''' do eixo dos $xx$.
  
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\noindent Resolver a inequação \fbox{$ax^2+bx+c > 0$} é determinar os valores de $x$ para os quais a função $f$ é positiva, isto é, o gráfico da função fica \textbf{acima do eixo dos $xx$}.
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Analogamente, resolver a inequação $ax^2+bx+c<0$ é determinar os valores de $x$ para os quais a função é negativa, ou seja, o gráfico da função fica '''abaixo''' do eixo dos $xx$.
  
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As soluções deste tipo de inequações dependem do valor de $a$ e da posição do vértice da parábola correspondente à inequação tal como ilustram as tabelas seguintes. Recorde-se que a ordenada do vértice é dada por $y_v=\displaystyle -\frac{\Delta}{4a}$ e a abcissa é $\displaystyle x_v=-\frac{b}{2a}$, com $\Delta = b^2-4ac$.
  
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\noindent Analogamente, resolver a inequação \fbox{$ax^2+bx+c<0$} é determinar os valores de $x$ para os quais a função é negativa, ou seja, o gráfico da função fica \textbf{abaixo do eixo dos $xx$}.
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Por exemplo a parábola $y=3x^2$, tem o vértice em $(0,0)$ e a concavidade voltada para cima, enquanto que a parábola $y=-3x^2$ tem o mesmo vértice mas a concavidade voltada para baixo.
  
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\noindent As soluções deste tipo de inequações dependem do valor de $a$ e da posição do vértice da parábola correspondente à inequação tal como ilustram as tabelas seguintes. Recorde-se que a ordenada do vértice é dada por $y_v=\DS -\frac{\Delta}{4a}$ e a abcissa é $\DS x_v=-\frac{b}{2a}$, com $\Delta = b^2-4ac$.
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Por exemplo a parábola $y=3x^2$, tem o vértice em $(0,0)$ e a concavidade voltada para cima, enquanto que a parábola $y=-3x^2$ tem o mesmo vértice mas a concavidade voltada para baixo.
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%  \begin{pvplot}[unit=4mm,name=pard#1](-.3,2)(-1,1)\pvaxes[yrange={-1.3,.7}]
 
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%  \pvfunct[add=f,size=2]{-f(x-.9)-(1-#1)*.3:(.4,1.4)->(-2,2)}\end{pvplot}}
 
  
 
\begin{tabular}{|p{4.5cm}|p{2.6cm}|p{4cm}|p{4.5cm}|} \hline
 
\begin{tabular}{|p{4.5cm}|p{2.6cm}|p{4cm}|p{4.5cm}|} \hline

Revision as of 14:59, 16 October 2012

Inequações do 2º grau

O gráfico da função $f(x)=ax^2+bx+c$, com $a\neq0$, é uma parábola. Se $a<0$ a concavidade da parábola é voltada para baixo e se $a>0$ a concavidade é voltada para cima.

Resolver a inequação $ax^2+bx+c > 0$ é determinar os valores de $x$ para os quais a função $f$ é positiva, isto é, o gráfico da função fica acima do eixo dos $xx$.

Analogamente, resolver a inequação $ax^2+bx+c<0$ é determinar os valores de $x$ para os quais a função é negativa, ou seja, o gráfico da função fica abaixo do eixo dos $xx$.

As soluções deste tipo de inequações dependem do valor de $a$ e da posição do vértice da parábola correspondente à inequação tal como ilustram as tabelas seguintes. Recorde-se que a ordenada do vértice é dada por $y_v=\displaystyle -\frac{\Delta}{4a}$ e a abcissa é $\displaystyle x_v=-\frac{b}{2a}$, com $\Delta = b^2-4ac$.

Por exemplo a parábola $y=3x^2$, tem o vértice em $(0,0)$ e a concavidade voltada para cima, enquanto que a parábola $y=-3x^2$ tem o mesmo vértice mas a concavidade voltada para baixo.

Parabolas1.jpg


\begin{tabular}{|p{4.5cm}|p{2.6cm}|p{4cm}|p{4.5cm}|} \hline \textbf{Casos}& \textbf{Gráfico} & \textbf{Exemplo} & \textbf{Conjunto Solução}\\ \hline \begin{tabular}{c} \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-19-QINU \\ (concavidade para cima)\\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-20-QINU e UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-21-QINU \\ \\ 2 zeros distintos \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \includegraphics[width=1in]{parabolas1} \end{tabular} &

\begin{tabular}{c} \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-22-QINU \\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-23-QINU\\ \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-24-QINU \\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-25-QINU \\ \\ \end{tabular} \\ \hline

\begin{tabular}{c} \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-26-QINU\\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-27-QINU e UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-28-QINU \\ \\ um zero (duplo) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \includegraphics[width=1in]{parabolas2} \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-29-QINU \\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-30-QINU\\ \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-31-QINU \\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-32-QINU \\ \\ \end{tabular} \\ \hline

\begin{tabular}{c} \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-33-QINU\\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-34-QINU e UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-35-QINU \\ \\ não tem zeros \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \includegraphics[width=1in]{parabolas3} \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-36-QINU \\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-37-QINU \\ \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-38-QINU \\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-39-QINU \\ \\ \end{tabular} \\ \hline \begin{tabular}{c} \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-40-QINU \\ (concavidade para baixo) \\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-41-QINU e UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-42-QINU \\ \\ dois zeros distintos \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \includegraphics[width=1in]{parabolas4} \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-43-QINU \\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-44-QINU\\ \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c}\\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-45-QINU \\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-46-QINU \\ \\ \end{tabular} \\ \hline

\begin{tabular}{c} \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-47-QINU\\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-48-QINU e UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-49-QINU \\ \\ um zero (duplo) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \includegraphics[width=1in]{parabolas5} \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-50-QINU \\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-51-QINU\\ \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-52-QINU \\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-53-QINU \\ \\ \end{tabular} \\ \hline

\begin{tabular}{c} \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-54-QINU\\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-55-QINU e UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-56-QINU \\ \\ não tem zeros \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \includegraphics[width=1in]{parabolas6} \end{tabular} & \begin{tabular}{c}\\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-57-QINU \\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-58-QINU\\ \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c}\\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-59-QINU \\ \\ UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-60-QINU \\ \\ \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}



\subsubsection*{Exercícios Propostos} \begin{enumerate} \item Determine o menor número natural que verifica a condição UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-66-QINU \item Determine, em UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-61-QINU, o conjunto solução das seguintes inequações \begin{tabular}{ll} (a) UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-62-QINU \ \ \ \ \ \ \ & (b) UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-63-QINU \\ (c) UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-64-QINU & (d) UNIQ1ef647f169b74f76-MathJax-65-QINU \end{tabular} \end{enumerate}

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