Função inversa

Revision as of 16:41, 6 November 2012

Inversa de uma Função

Consideremos a função $f(x)=-2x+3$. Esta função é injetiva, o que significa que a cada $y \in CD_f=\mathbb{R}$ corresponde um único $x \in D_f=\mathbb{R}$.

Por exemplo, $f(0)=3$ e portanto a imagem recíproca de $3$ é $0$, o que se traduz por $f^{-1}(0)=3$. Da mesma forma, como $f(1)=1$, dizemos que $f^{-1}(1)=1$; como $f(2)=-1$, dizemos que $f^{-1}(-1)=2$.

No caso geral, sendo $y=-2x+3$, resolvendo esta equação em ordem a $x$, obtemos $\displaystyle x=-\frac{y-3}{2}$, e esta lei dá-nos a expressão da função inversa, ou seja, $\displaystyle f^{-1}(y)=-\frac{y-3}{2}$.

Seja $\begin{array}{llll} f: &D_f\subset\mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \end{array}$ uma função injetiva. Sendo assim, para todo o $y \in CD_f$ existe um único $x \in D_f$, tal que $y=f(x)$, ou seja, existe uma função $f^{-1}:CD_f \longrightarrow \mathbb{R}$, com contradomínio $D_f$, definida por: $$f^{-1}(y)=x \mbox{ se e só se } f(x)=y, y\in CD_f$$ Tal função designa-se por função inversa de $f$. Se $f$ admite função inversa, $f$ diz-se invertível. Neste caso a função inversa é única!

Observação: O gráfico de $f^{-1}$ é obtido do gráfico de $f$ por simetria em relação à recta $y=x$.

Se $f$ é uma função invertível e $f^{-1}$ é a sua inversa, então $$(f^{-1}\circ f)(x)=x,\; \forall x\in D_f \mbox{ e } (f\circ f^{-1})(y)=y, \; \forall y\in D_{f^{-1}}=f(D_f)=CD_f.$$ A composta $f\circ f^{-1}$ é a função identidade $i_1:CD_f\longrightarrow CD_f$ e a composta $f^{-1}\circ f$ é a função identidade $i_2:D_f\rightarrow D_f$ ($i_1(y)=y$ e $i_2(x)=x$).

Nunca confundir a função inversa com a potência de $f$ de expoente $(-1)$: $ \displaystyle f^{-1}(x)\ne\bigl(f(x)\bigr)^{-1}=\frac1{f(x)}. $\\

Algumas propriedades das funções invertíveis são muito importantes para a resolução de alguns problemas:

1. Se $f$ é estritamente monótona então $f$ é injectiva (e portanto invertível).
2. A função $f$ é estritamente crescente [resp. decrescente] em $D_f$ se e só se a função $f^{-1}$ é estritamente crescente [resp. decrescente] em

$CD_f$.

1. Sejam $f$ e $g$ duas funções invertíveis. No seu domínio, a função composta $f\circ g$ também é invertível e a sua inversa é $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$

Exemplo Determine a inversa da função $\displaystyle h(x)=\frac{1}{x-1}$.

\subsubsection*{Resolução} A função $h$ é injectiva, o seu domínio é $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ e o seu contradomínio é $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Para determinar a expressão da inversa vamos resolver a equação $\displaystyle y=\frac{1}{x-1}$ em ordem a $x$ (não esquecendo o domínio e o contradomínio de $h$): $$y=\frac{1}{x-1}\Longleftrightarrow (x-1)y=1 \Longleftrightarrow x=\frac{1+y}{y}=1+\frac{1}{y}.$$ Assim, a função inversa, $h^{-1}$, de $h$ é: $$\begin{array}{lccl} h^{-1}: & \mathbb{R}\setminus \{0\} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & \displaystyle 1+\frac{1}{x} \end{array}$$ Observe que, efectivamente, $$\left(h \circ h^{-1}\right)(a)=h\left(1+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{1+\frac{1}{a}-1}=a \mbox{ e }\left(h^{-1} \circ h\right)(b)=h^{-1}\left(\frac{1}{b-1}\right)=1+\frac{1}{\frac{1}{b-1}}=b.$$