Conceito de exponencial
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* Depósito 2: juro composto anual de $5.5 \%$. | * Depósito 2: juro composto anual de $5.5 \%$. | ||
| − | No caso do juro simples, anualmente vencem-se juros que são depositados numa conta à ordem. Assim, ao fim de um ano o depósito de $1000 | + | No caso do juro simples, anualmente vencem-se juros que são depositados numa conta à ordem. Assim, ao fim de um ano o depósito de $1000 $ € rendeu $0.06 \times 1000 = 60 $ €. Ao fim de dois anos terá rendido mais $60 $ € e assim sucessivamente. Podemos definir uma regra que nos permita calcular o capital obtido ao fim de um período de $t$ anos: |
$$S(t)= 1000+ 0.06 \times 1000 \times t= 1000+60t$$ | $$S(t)= 1000+ 0.06 \times 1000 \times t= 1000+60t$$ | ||
| − | No caso do juro composto, os juros, ao fim de um ano vão render juros, isto é, no final do primeiro ano o capital investido mais o lucro é $1000+0.055 \times 1000 = 1055 | + | No caso do juro composto, os juros, ao fim de um ano vão render juros, isto é, no final do primeiro ano o capital investido mais o lucro é $1000+0.055 \times 1000 = 1055 $ €. Contudo, estes $55 $ € de juro, irão render juros no segundo ano, ou seja, o capital ao fim de dois anos será: |
| − | $$1055+0.055 \times 1055 = 1113.025 | + | $$1055+0.055 \times 1055 = 1113.025 €$$ |
%Podemos também definir uma regra para este caso dos juros compostos: | %Podemos também definir uma regra para este caso dos juros compostos: | ||
%Ao fim de três anos o capital acumulado será | %Ao fim de três anos o capital acumulado será | ||
| − | %$$1055+0.055 \times 1055 = 1113.025 + 0.055 \times 1113.025 = 1174,24 | + | %$$1055+0.055 \times 1055 = 1113.025 + 0.055 \times 1113.025 = 1174,24 €$$ |
\begin{floatingfigure}[r]{2.61in} | \begin{floatingfigure}[r]{2.61in} | ||
\includegraphics[width=2.6in]{juros} | \includegraphics[width=2.6in]{juros} | ||
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\noindent Se analisarmos o gráfico das duas funções verificamos que nos primeiros 4 anos, o juro simples rende mais do que o composto, mas a partir daí, o capital acumulado com o juro composto é maior: | \noindent Se analisarmos o gráfico das duas funções verificamos que nos primeiros 4 anos, o juro simples rende mais do que o composto, mas a partir daí, o capital acumulado com o juro composto é maior: | ||
| − | $$S(4)=1000+60 \times 4= 1240 | + | $$S(4)=1000+60 \times 4= 1240 € \hspace{1cm} C(4)=1000 \times 1.055^4=1238.83 €$$ |
| − | $$S(10)=1000+60 \times 10= 1600 | + | $$S(10)=1000+60 \times 10= 1600 € \hspace{1cm} C(10)=1000 \times 1.055^{10}=1708.14 €$$ |
A função $e(t)=1.055^t$ diz-se uma função exponencial de base $1.055$.\\ | A função $e(t)=1.055^t$ diz-se uma função exponencial de base $1.055$.\\ | ||
Revision as of 16:55, 6 November 2012
Para entendermos o conceito de função exponencial, considere-se um problema de um depósito a prazo com juros compostos anualmente.
Suponhamos que temos $1000$ € para aplicar a longo prazo. No banco temos dois tipos de depósitos:
- Depósito 1: juro simples anual de $6 \%$;
- Depósito 2: juro composto anual de $5.5 \%$.
No caso do juro simples, anualmente vencem-se juros que são depositados numa conta à ordem. Assim, ao fim de um ano o depósito de $1000 $ € rendeu $0.06 \times 1000 = 60 $ €. Ao fim de dois anos terá rendido mais $60 $ € e assim sucessivamente. Podemos definir uma regra que nos permita calcular o capital obtido ao fim de um período de $t$ anos: $$S(t)= 1000+ 0.06 \times 1000 \times t= 1000+60t$$ No caso do juro composto, os juros, ao fim de um ano vão render juros, isto é, no final do primeiro ano o capital investido mais o lucro é $1000+0.055 \times 1000 = 1055 $ €. Contudo, estes $55 $ € de juro, irão render juros no segundo ano, ou seja, o capital ao fim de dois anos será: $$1055+0.055 \times 1055 = 1113.025 €$$ %Podemos também definir uma regra para este caso dos juros compostos: %Ao fim de três anos o capital acumulado será %$$1055+0.055 \times 1055 = 1113.025 + 0.055 \times 1113.025 = 1174,24 €$$ \begin{floatingfigure}[r]{2.61in} \includegraphics[width=2.6in]{juros} \end{floatingfigure}\noindent Podemos definir uma função que explicite o capital acumulado em função do tempo decorrido. Ao fim de um ano: $$1000+1000 \times 0.055=1000 \times (1+0.055)=1000 \times 1.055$$ Ao fim de dois anos: $$1000 \times 1.055+0.055 \times (1000 \times 1.055)=1000 \times (1.055)^2$$ Decorridos $t$ anos, o capital acumulado será de $$C(t)= 1000 \times 1.055^t$$ Se pretender aplicar o capital por 4 anos que depósito se deve escolher? E se o prazo for 10 anos?
\noindent Se analisarmos o gráfico das duas funções verificamos que nos primeiros 4 anos, o juro simples rende mais do que o composto, mas a partir daí, o capital acumulado com o juro composto é maior: $$S(4)=1000+60 \times 4= 1240 € \hspace{1cm} C(4)=1000 \times 1.055^4=1238.83 €$$ $$S(10)=1000+60 \times 10= 1600 € \hspace{1cm} C(10)=1000 \times 1.055^{10}=1708.14 €$$ A função $e(t)=1.055^t$ diz-se uma função exponencial de base $1.055$.\\
