Função exponencial de base a

Revision as of 16:25, 7 November 2012

Função exponencial de base $a$ com $a>1$

Domínio: $\mathbb{R}$ Contradomínio $\mathbb{R}^+$. Não tem zeros. O gráfico intersecta o eixo das ordenadas em $(0,1)$. %\item %A função é \emph{contínua} em todo o domínio. \item A função é estritamente crescente em $\mathbb{R}$ e portanto injectiva. \item À medida que $x$ assume valores muito elevados a função toma valores muito elevados, ou seja, se $x$ tende para $+ \infty$ a função também tende para $+\infty$: $\DS \lim_{x\rightarrow +\infty}{a^x}=+\infty .$ \item Se $x<0$ mas com valores absolutos muito elevados, a função aproxima-se de $0$ (ver tabela acima). Dizemos que a função $f(x)=a^x$ admite a assímptota horizontal $y=0$ quando $x$ tende para $-\infty $: $ \DS\lim_{x\to-\infty}a^x =0. $ \end{itemize} \end{minipage}

\subsubsection*{Função Exponencial de Base ${\large a}$ com $0<a<1$} \begin{minipage}{4cm}\centering \begin{pvplot}[name=expd,unit=10mm,build](-3,3.5)(-.5,5) \pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y] \pvfunct[size=2]{exp(-.6*x):(-2.7,3.2)->(0,4.5)} \pvpoint[y={}](0,1)[r]{\ \scriptstyle1} \pvpoint[y=\scriptstyle a,x=\scriptstyle1,dash](1,.55){} \pvpoint(2,4)[]{y=a^x} \pvpoint(2,3)[]{\scriptstyle(0<a<1)} \end{pvplot} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{115mm}%\centering \begin{itemize} \item Domínio UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-36-QINU. Contradomínio UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-37-QINU. Não tem zeros. O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-38-QINU. %\item %Contínua em todo o domínio. \item A função é estritamente decrescente em UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-39-QINU e portanto injectiva. \item À medida que UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-40-QINU assume valores muito elevados a função toma valores muito próximos de zero, ou seja, se UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-41-QINU tende para UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-42-QINU a função tende para UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-43-QINU: UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-44-QINU Dizemos que a função UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-45-QINU admite a assímptota horizontal UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-46-QINU quando UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-47-QINU tende para UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-48-QINU \item Se UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-49-QINU mas com valores absolutos muito elevados, a função tende para UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-50-QINU. Dizemos que quando UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-51-QINU tende para UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-52-QINU a função tende para UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-53-QINU: UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-54-QINU \end{itemize} \end{minipage}

\noindent Em ambos os casos, $a>1$ e $0<a<1$, a função é estritamente monótona, contínua\footnote{Entenda-se por contínua que o seu gráfico pode ser traçado no seu domínio - o intervalo, $]-\infty,\infty[$ - sem levantar o lápis do papel, ou sem saltos.}, nunca se anula e intersecta o eixo das ordenadas em $(0,1)$.

\subsubsection{Propriedades da exponencial}

Recordando algumas das propriedades das potências, podemos formular propriedades análogas para a função exponencial.

\noindent Sejam $a>0$, $b>0$ e $ x, y\in \mathbb{R}$, então:

\begin{tabular}{llllllllll} (a)&UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-62-QINU & (b) & UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-63-QINU & (c) & UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-64-QINU & (d) & UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-65-QINU & (e)&UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-66-QINU \\ \end{tabular}

\vspace{2mm} \noindent Destas propriedades pode observar-se que a função exponencial transforma um produto numa soma. Seja por exemplo $f(x)=5^x$. Então, $$f(x) \times f(y)=5^x \times 5^y = 5^{x+y}=f(x+y).$$

\subsubsection*{Exemplos} \begin{enumerate} \item Determinar a solução da equação UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-68-QINU.\\ Como a função exponencial é injectiva temos UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-2-QINU \item Determinar os valores de UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-69-QINU tais que UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-70-QINU.\\ Como a função UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-71-QINU é estritamente crescente e UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-72-QINU, temos UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-3-QINU \item O conjunto solução de UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-73-QINU obtém-se resolvendo a inequação UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-74-QINU, com UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-75-QINU. Repare-se que UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-76-QINU. UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-4-QINU porque a função dada pela equação UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-77-QINU é representada graficamente por uma parábola de zeros UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-78-QINU e UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-79-QINU e concavidade voltada para cima. Então, como a função exponencial UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-80-QINU é crescente, UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-5-QINU Assim, o conjunto solução da inequação é UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-81-QINU.\\ \item Para determinar os valores de UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-82-QINU que satisfazem UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-83-QINU, começamos por determinar os zeros do numerador e do denominador: UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-6-QINU UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-7-QINU Como a função exponencial de base maior do que UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-84-QINU é crescente, podemos construir a seguinte tabela de variação de sinal: % UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-85-QINU\\ %UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-86-QINU\\ %UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-87-QINU UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-8-QINU Assim, o conjunto solução da inequação dada é: UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-9-QINU \item Para resolver a inequação UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-88-QINU, podemos pôr em evidência o factor UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-89-QINU para posteriormente aplicar a lei do anulamento do produto: UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-10-QINU Assim, UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-11-QINU Como UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-90-QINU, o sinal de UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-91-QINU apenas depende do sinal de UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-92-QINU. Então, UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-12-QINU O conjunto solução da inequação é: UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-13-QINU \item Determinar os parâmetros UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-93-QINU e UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-94-QINU para que a expressão UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-95-QINU defina uma função cujo gráfico intersecte o eixo das ordenadas (UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-96-QINU) no ponto de ordenada UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-97-QINU e tenha por assímptota a recta de equação UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-98-QINU, isto é, quando UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-99-QINU tende para UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-100-QINU ou UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-101-QINU (dependendo de UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-102-QINU ou UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-103-QINU), UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-104-QINU tende para 2.\\ Se o gráfico da função de equação UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-105-QINU intersecta o eixo das ordenadas em UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-106-QINU isto significa que UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-107-QINU. Como UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-108-QINU tem como assímptota a recta UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-109-QINU (quando UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-110-QINU tende para UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-111-QINU se UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-112-QINU ou quando UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-113-QINU tende para UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-114-QINU se UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-115-QINU), resulta que UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-116-QINU tem como assímptota a recta horizontal UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-117-QINU. Então UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-118-QINU e portanto UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-119-QINU. Poderíamos interpretar o problema usando a translação de gráficos de funções. A função UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-120-QINU resulta da translação associada ao vector UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-121-QINU do gráfico da função dada por UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-122-QINU(o gráfico desloca-se uma unidade para a esquerda e UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-123-QINU unidades na vertical - para cima se UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-124-QINU e para baixo se UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-125-QINU). Como a recta UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-126-QINU é a única assímptota do gráfico de UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-127-QINU, a recta UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-128-QINU é a única assímptota do gráfico de UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-129-QINU. Podemos então afirmar que UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-130-QINU. Como o gráfico da função passa pelo ponto UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-131-QINU, substituindo UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-132-QINU e UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-133-QINU na equação que traduz a expressão da função, temos UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-14-QINU A função que satisfaz as condições do problema é UNIQ761a66ab7c08116c-MathJax-15-QINU \end{enumerate}