Função exponencial de base a
(→Função exponencial de base $a$ com $a>1$) |
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Revision as of 16:27, 7 November 2012
Função exponencial de base $a$ com $a>1$
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* Domínio: $\mathbb{R}$
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| C | D |
- Domínio: $\mathbb{R}$
- Contradomínio $\mathbb{R}^+$. Não tem zeros. O gráfico intersecta o eixo das ordenadas em $(0,1)$.
%\item %A função é \emph{contínua} em todo o domínio. \item A função é estritamente crescente em $\mathbb{R}$ e portanto injectiva. \item À medida que $x$ assume valores muito elevados a função toma valores muito elevados, ou seja, se $x$ tende para $+ \infty$ a função também tende para $+\infty$: $\DS \lim_{x\rightarrow +\infty}{a^x}=+\infty .$ \item Se $x<0$ mas com valores absolutos muito elevados, a função aproxima-se de $0$ (ver tabela acima). Dizemos que a função $f(x)=a^x$ admite a assímptota horizontal $y=0$ quando $x$ tende para $-\infty $: $ \DS\lim_{x\to-\infty}a^x =0. $ \end{itemize} \end{minipage}
\subsubsection*{Função Exponencial de Base ${\large a}$ com $0<a<1$}
\begin{minipage}{4cm}\centering
\begin{pvplot}[name=expd,unit=10mm,build](-3,3.5)(-.5,5)
\pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y]
\pvfunct[size=2]{exp(-.6*x):(-2.7,3.2)->(0,4.5)}
\pvpoint[y={}](0,1)[r]{\ \scriptstyle1} \pvpoint[y=\scriptstyle
a,x=\scriptstyle1,dash](1,.55){} \pvpoint(2,4)[]{y=a^x}
\pvpoint(2,3)[]{\scriptstyle(0<a<1)}
\end{pvplot}
\end{minipage}
%
\hfill
%
\begin{minipage}{115mm}%\centering
\begin{itemize}
\item
Domínio UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-38-QINU. Contradomínio UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-39-QINU. Não tem zeros. O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-40-QINU.
%\item
%Contínua em todo o domínio.
\item
A função é estritamente decrescente em UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-41-QINU e portanto injectiva.
\item
À medida que UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-42-QINU assume valores muito elevados a função toma valores muito próximos de zero, ou seja, se UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-43-QINU tende para UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-44-QINU a função tende para UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-45-QINU: UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-46-QINU Dizemos que a função UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-47-QINU admite a assímptota horizontal UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-48-QINU quando UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-49-QINU tende para UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-50-QINU
\item Se UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-51-QINU mas com valores absolutos muito elevados, a função tende para UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-52-QINU. Dizemos que quando UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-53-QINU tende para UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-54-QINU a função tende para UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-55-QINU:
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-56-QINU
\end{itemize}
\end{minipage}
\noindent Em ambos os casos, $a>1$ e $0<a<1$, a função é estritamente monótona, contínua\footnote{Entenda-se por contínua que o seu gráfico pode ser traçado no seu domínio - o intervalo, $]-\infty,\infty[$ - sem levantar o lápis do papel, ou sem saltos.}, nunca se anula e intersecta o eixo das ordenadas em $(0,1)$.
\subsubsection{Propriedades da exponencial}
Recordando algumas das propriedades das potências, podemos formular propriedades análogas para a função exponencial.
\noindent Sejam $a>0$, $b>0$ e $ x, y\in \mathbb{R}$, então:
\begin{tabular}{llllllllll} (a)&UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-64-QINU & (b) & UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-65-QINU & (c) & UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-66-QINU & (d) & UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-67-QINU & (e)&UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-68-QINU \\ \end{tabular}
\vspace{2mm} \noindent Destas propriedades pode observar-se que a função exponencial transforma um produto numa soma. Seja por exemplo $f(x)=5^x$. Então, $$f(x) \times f(y)=5^x \times 5^y = 5^{x+y}=f(x+y).$$
\subsubsection*{Exemplos}
\begin{enumerate}
\item Determinar a solução da equação UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-70-QINU.\\
Como a função exponencial é injectiva temos
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-2-QINU
\item Determinar os valores de UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-71-QINU tais que UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-72-QINU.\\
Como a função UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-73-QINU é estritamente crescente e UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-74-QINU, temos UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-3-QINU
\item O conjunto solução de UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-75-QINU obtém-se resolvendo a inequação UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-76-QINU, com UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-77-QINU. Repare-se que UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-78-QINU.
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-4-QINU
porque a função dada pela equação UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-79-QINU é representada graficamente por uma parábola de zeros UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-80-QINU e UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-81-QINU e concavidade voltada para cima. Então, como a função exponencial UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-82-QINU é crescente,
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-5-QINU
Assim, o conjunto solução da inequação é
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-83-QINU.\\
\item Para determinar os valores de UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-84-QINU que satisfazem UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-85-QINU, começamos por determinar os zeros do numerador e do
denominador:
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-6-QINU
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-7-QINU
Como a função exponencial de base maior do que UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-86-QINU é crescente, podemos construir a seguinte tabela de variação de sinal:
% UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-87-QINU\\
%UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-88-QINU\\
%UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-89-QINU
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-8-QINU
Assim, o conjunto solução da inequação dada é:
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-9-QINU
\item Para resolver a inequação UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-90-QINU, podemos pôr em evidência o factor UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-91-QINU para posteriormente aplicar a lei do anulamento do produto:
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-10-QINU
Assim,
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-11-QINU
Como UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-92-QINU, o sinal de UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-93-QINU apenas depende do sinal de UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-94-QINU. Então,
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-12-QINU
O conjunto solução da inequação é:
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-13-QINU
\item Determinar os parâmetros UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-95-QINU e UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-96-QINU para que a expressão UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-97-QINU defina
uma função cujo gráfico intersecte o eixo das ordenadas (UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-98-QINU) no ponto de
ordenada UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-99-QINU e tenha por assímptota a recta de equação UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-100-QINU, isto é, quando UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-101-QINU tende para UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-102-QINU ou UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-103-QINU (dependendo de UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-104-QINU ou UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-105-QINU), UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-106-QINU tende para 2.\\
Se o gráfico da função de equação UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-107-QINU intersecta o eixo das ordenadas em UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-108-QINU isto significa que UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-109-QINU. Como UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-110-QINU tem como assímptota a recta UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-111-QINU (quando UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-112-QINU tende para UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-113-QINU se UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-114-QINU ou quando UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-115-QINU tende para UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-116-QINU se UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-117-QINU), resulta que UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-118-QINU tem como assímptota a recta horizontal UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-119-QINU. Então UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-120-QINU e portanto UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-121-QINU.
Poderíamos interpretar o problema usando a translação de gráficos de funções. A função UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-122-QINU resulta da translação associada ao vector UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-123-QINU do gráfico da função dada por UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-124-QINU(o gráfico desloca-se uma unidade para a esquerda e UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-125-QINU unidades na vertical - para cima se UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-126-QINU e para baixo se UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-127-QINU). Como a recta UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-128-QINU é a única assímptota do gráfico de UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-129-QINU, a recta UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-130-QINU é a única assímptota do gráfico de UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-131-QINU. Podemos então afirmar que UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-132-QINU.
Como o gráfico da função passa pelo ponto
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-133-QINU, substituindo UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-134-QINU e UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-135-QINU na equação que traduz a expressão da função, temos
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-14-QINU
A função que satisfaz as condições do problema é
UNIQ7d478c072bd00d6d-MathJax-15-QINU
\end{enumerate}
