Função exponencial de base a
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* O gráfico intersecta o eixo das ordenadas em $(0,1)$. | * O gráfico intersecta o eixo das ordenadas em $(0,1)$. | ||
* A função é estritamente crescente em $\mathbb{R}$ e portanto injetiva. | * A função é estritamente crescente em $\mathbb{R}$ e portanto injetiva. | ||
| − | * À medida que $x$ assume valores muito elevados a função toma valores muito elevados, ou seja, se $x$ tende para $+ \infty$ a função também tende para $+\infty$: $\ | + | * À medida que $x$ assume valores muito elevados a função toma valores muito elevados, ou seja, se $x$ tende para $+ \infty$ a função também tende para $+\infty$: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}{a^x}=+\infty .$ |
| − | + | * Se $x<0$ mas com valores absolutos muito elevados, a função aproxima-se de $0$. Dizemos que a função $f(x)=a^x$ admite a assímptota horizontal $y=0$ quando $x$ tende para $-\infty $: $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}a^x =0.$ | |
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Revision as of 16:31, 7 November 2012
Função exponencial de base $a$ com $a>1$
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\subsubsection*{Função Exponencial de Base ${\large a}$ com $0<a<1$}
\begin{minipage}{4cm}\centering
\begin{pvplot}[name=expd,unit=10mm,build](-3,3.5)(-.5,5)
\pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y]
\pvfunct[size=2]{exp(-.6*x):(-2.7,3.2)->(0,4.5)}
\pvpoint[y={}](0,1)[r]{\ \scriptstyle1} \pvpoint[y=\scriptstyle
a,x=\scriptstyle1,dash](1,.55){} \pvpoint(2,4)[]{y=a^x}
\pvpoint(2,3)[]{\scriptstyle(0<a<1)}
\end{pvplot}
\end{minipage}
%
\hfill
%
\begin{minipage}{115mm}%\centering
\begin{itemize}
\item
Domínio UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-36-QINU. Contradomínio UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-37-QINU. Não tem zeros. O gráfico intersecta o eixo das ordenadas no ponto UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-38-QINU.
%\item
%Contínua em todo o domínio.
\item
A função é estritamente decrescente em UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-39-QINU e portanto injectiva.
\item
À medida que UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-40-QINU assume valores muito elevados a função toma valores muito próximos de zero, ou seja, se UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-41-QINU tende para UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-42-QINU a função tende para UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-43-QINU: UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-44-QINU Dizemos que a função UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-45-QINU admite a assímptota horizontal UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-46-QINU quando UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-47-QINU tende para UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-48-QINU
\item Se UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-49-QINU mas com valores absolutos muito elevados, a função tende para UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-50-QINU. Dizemos que quando UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-51-QINU tende para UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-52-QINU a função tende para UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-53-QINU:
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-54-QINU
\end{itemize}
\end{minipage}
\noindent Em ambos os casos, $a>1$ e $0<a<1$, a função é estritamente monótona, contínua\footnote{Entenda-se por contínua que o seu gráfico pode ser traçado no seu domínio - o intervalo, $]-\infty,\infty[$ - sem levantar o lápis do papel, ou sem saltos.}, nunca se anula e intersecta o eixo das ordenadas em $(0,1)$.
\subsubsection{Propriedades da exponencial}
Recordando algumas das propriedades das potências, podemos formular propriedades análogas para a função exponencial.
\noindent Sejam $a>0$, $b>0$ e $ x, y\in \mathbb{R}$, então:
\begin{tabular}{llllllllll} (a)&UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-62-QINU & (b) & UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-63-QINU & (c) & UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-64-QINU & (d) & UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-65-QINU & (e)&UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-66-QINU \\ \end{tabular}
\vspace{2mm} \noindent Destas propriedades pode observar-se que a função exponencial transforma um produto numa soma. Seja por exemplo $f(x)=5^x$. Então, $$f(x) \times f(y)=5^x \times 5^y = 5^{x+y}=f(x+y).$$
\subsubsection*{Exemplos}
\begin{enumerate}
\item Determinar a solução da equação UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-68-QINU.\\
Como a função exponencial é injectiva temos
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-2-QINU
\item Determinar os valores de UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-69-QINU tais que UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-70-QINU.\\
Como a função UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-71-QINU é estritamente crescente e UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-72-QINU, temos UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-3-QINU
\item O conjunto solução de UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-73-QINU obtém-se resolvendo a inequação UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-74-QINU, com UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-75-QINU. Repare-se que UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-76-QINU.
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-4-QINU
porque a função dada pela equação UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-77-QINU é representada graficamente por uma parábola de zeros UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-78-QINU e UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-79-QINU e concavidade voltada para cima. Então, como a função exponencial UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-80-QINU é crescente,
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-5-QINU
Assim, o conjunto solução da inequação é
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-81-QINU.\\
\item Para determinar os valores de UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-82-QINU que satisfazem UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-83-QINU, começamos por determinar os zeros do numerador e do
denominador:
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-6-QINU
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-7-QINU
Como a função exponencial de base maior do que UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-84-QINU é crescente, podemos construir a seguinte tabela de variação de sinal:
% UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-85-QINU\\
%UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-86-QINU\\
%UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-87-QINU
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-8-QINU
Assim, o conjunto solução da inequação dada é:
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-9-QINU
\item Para resolver a inequação UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-88-QINU, podemos pôr em evidência o factor UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-89-QINU para posteriormente aplicar a lei do anulamento do produto:
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-10-QINU
Assim,
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-11-QINU
Como UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-90-QINU, o sinal de UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-91-QINU apenas depende do sinal de UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-92-QINU. Então,
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-12-QINU
O conjunto solução da inequação é:
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-13-QINU
\item Determinar os parâmetros UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-93-QINU e UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-94-QINU para que a expressão UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-95-QINU defina
uma função cujo gráfico intersecte o eixo das ordenadas (UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-96-QINU) no ponto de
ordenada UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-97-QINU e tenha por assímptota a recta de equação UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-98-QINU, isto é, quando UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-99-QINU tende para UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-100-QINU ou UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-101-QINU (dependendo de UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-102-QINU ou UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-103-QINU), UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-104-QINU tende para 2.\\
Se o gráfico da função de equação UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-105-QINU intersecta o eixo das ordenadas em UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-106-QINU isto significa que UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-107-QINU. Como UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-108-QINU tem como assímptota a recta UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-109-QINU (quando UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-110-QINU tende para UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-111-QINU se UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-112-QINU ou quando UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-113-QINU tende para UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-114-QINU se UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-115-QINU), resulta que UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-116-QINU tem como assímptota a recta horizontal UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-117-QINU. Então UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-118-QINU e portanto UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-119-QINU.
Poderíamos interpretar o problema usando a translação de gráficos de funções. A função UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-120-QINU resulta da translação associada ao vector UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-121-QINU do gráfico da função dada por UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-122-QINU(o gráfico desloca-se uma unidade para a esquerda e UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-123-QINU unidades na vertical - para cima se UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-124-QINU e para baixo se UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-125-QINU). Como a recta UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-126-QINU é a única assímptota do gráfico de UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-127-QINU, a recta UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-128-QINU é a única assímptota do gráfico de UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-129-QINU. Podemos então afirmar que UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-130-QINU.
Como o gráfico da função passa pelo ponto
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-131-QINU, substituindo UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-132-QINU e UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-133-QINU na equação que traduz a expressão da função, temos
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-14-QINU
A função que satisfaz as condições do problema é
UNIQ5e00f3e06b1a7297-MathJax-15-QINU
\end{enumerate}
