Exemplos

Latest revision as of 11:54, 2 November 2012

A função $\displaystyle j(x)=\frac{1}{x}$ tem domínio $D_j= \mathbb{R}\setminus \{0\}$ e contradomínio $CD_j=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

A função $j$ é injetiva: $$j(x)=j(x')( \mbox{ com }x,x' \in D_j )\Longleftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{x'} \Longleftrightarrow x= x'.$$ Contudo, a função $j$ não é sobrejetiva, já que $0$ não é imagem de nenhum ponto do domínio de $j$. Por outras palavras, o contradomínio $\left( CD_j=\mathbb{R}\setminus \{0\}\right)$ não coincide com o conjunto de chegada $\left(\mathbb{R}\right)$.

Das seguintes funções indicam-se as injetivas e as sobrejetivas:

Exercício proposto

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 * A função $\displaystyle j(x)=\frac{1}{x}$ tem domínio $D_j= \mathbb{R}\setminus \{0\}$ e contradomínio $CD_j=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
+A função $j$ é injetiva:
+$$j(x)=j(x')( \mbox{ com }x,x' \in D_j )\Longleftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{x'} \Longleftrightarrow x= x'.$$ Contudo, a função $j$ não é sobrejetiva, já que $0$ não é imagem de nenhum ponto do domínio de $j$. Por outras palavras, o contradomínio $\left( CD_j=\mathbb{R}\setminus \{0\}\right)$ não coincide com o conjunto de chegada $\left(\mathbb{R}\right)$.
 [[File:injetiva1.jpg]]
-\begin{minipage}{4in}
-A função $j$ é injectiva:
-$$j(x)=j(x')( \mbox{ com }x,x' \in D_j )\Longleftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{x'} \Longleftrightarrow x= x'.$$ Contudo, a função $j$ não é sobrejectiva, já que $0$ não é imagem de nenhum ponto do domínio de $j$. Por outras palavras, o contradomínio $\left( CD_j=\mathbb{R}\setminus \{0\}\right)$ não coincide com o conjunto de chegada $\left(\mathbb{R}\right)$.
-\end{minipage}
-\begin{minipage}{3in}
-\begin{pvplot}[unit=7mm](-4,4.5)(-4,4.5)
-\pvaxes[x=x,y=y]
-\pvfunct{1/x:(-3.8,3.8)->(-3.8,3.8)}
-\pvpoint[dash,x=1,y=1,pt](1,1){}\pvpoint(2,3){j(x)=\frac1x}
-\end{pvplot}
-\end{minipage}
-    \item Das seguintes funções indicam-se as injectivas e as sobrejectivas:
-\begin{center}
-\begin{tabular}{cc}
-\begin{pvplot}[name=exp,unit=7.5mm](-3,3.5)(-2.5,3)
-\pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y]
-\pvfunct[size=2]{exp(.6*x):(-2.5,2.5)}
-\pvpoint[y={}](0,1)[l]{\ \scriptstyle1}
-%\pvpoint(0,-2.3)[t]{y=e^x}
-\end{pvplot} & \hspace{1cm}\begin{pvplot}[name=cos,unit=7.5mm](-3,3.5)(-2.5,3)
-\pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y]
-\pvfunct[size=2]{cos(1.8*x)/1.8:(-2.8,3)}
-\pvpoint(.4,1)[]{\scriptstyle1}
-\pvpoint[x=\scriptstyle\frac\pi2](.87,0){}
-%\pvpoint(0,-2.5)[t]{y=\cos x}
-\end{pvplot}\\
-& \\
-Injectiva e não sobrejectiva &\hspace{1cm} Não injectiva e não sobrejectiva \\
-& \\
-\begin{pvplot}[name=tan,unit=7.5mm](-3,3.5)(-2.5,3)
-\pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y]
-\pvfunct[size=2]{tan(1.2*x):(-2.7,3)->(-2.3,2.8)}
-\pvdash(-1.31,-2.4)(-1.31,2.9)
-\pvdash(1.31,-2.4)(1.31,2.9)
-\pvpoint(1.2,-.1)[bl]{\scriptstyle\frac\pi2}
-\pvpoint(-1.2,.1)[tr]{\scriptstyle-\frac\pi2}
-%\pvpoint(0,-2.5)[t]{y=\tan x}
-\end{pvplot} & \hspace{1cm}
-\begin{pvplot}[name=cub,unit=7.5mm](-3,3.5)(-2.5,3)
-\pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y]
-\pvfunct[size=2]{(.6*x)**3:(-2.5,2.5)->(-2.3,2.8)}
-%\pvpoint(0,-2.3)[t]{y=x^3}
-\end{pvplot} \\
-& \\
-Sobrejectiva e não injectiva & \hspace{1cm}Injectiva e sobrejectiva - bijectiva \\
-\end{tabular}
-\end{center}
-\end{itemize}
+* Das seguintes funções indicam-se as injetivas e as sobrejetivas:
+[[File:injetiva2.jpg]]
+[[File:injetiva3.jpg]]
+[[File:injetiva4.jpg]]
+[[File:injetiva5.jpg]]
+[[Exercício proposto]]
-\subsubsection*{Exercício Proposto}
+[[Matemática Elementar#Funções reais de variável real|Voltar]]
-Considere as funções definidas por:
-  $$f(x)=\sqrt{x}; \hspace{0.4cm} g(x)=x^2; \hspace{0.4cm}h(x)=-3x+4$$
-\begin{description}
-    \item[(a)] Determine os seus domínios.
-    \item[(b)] Determine os seus contradomínios.
-    \item[(c)] Indique, justificando, se as funções são injectivas e/ou sobrejectivas.
-\end{description}

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