Funções reais de variável real

Latest revision as of 16:26, 6 February 2013

Se $A\subseteq \mathbb{R}$ e $B=\mathbb{R}$, a função $f:A\rightarrow B$ diz-se função real de variável real. Usar-se-ão as notações $D_f$ para domínio da função $f$ e $CD_f$ para contradomínio de $f$ e indica-se $f:D_f\subseteq \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$.

O contradomínio de $f$ é o conjunto

$CD_f=f(D_f)=\{ f(x) : x \in D_f \}=\{ y \in \mathbb{R}:y=f(x) \wedge x \in D_f \}$

Frequentemente uma função é dada por uma regra $y=f(x)$, significando que a cada valor da variável independente $x$ se associa um valor da variável dependente $y=f(x)$. Por exemplo, se a regra é $f(x)=x^2$, a cada valor de $x$ é associado o seu quadrado, por exemplo

$x$	$0$	$-2$	$-1$	$1$	$2$	$3$	$\displaystyle \frac{4}{5}$
$y$	$0$	$4$	$1$	$1$	$4$	$9$	$\displaystyle \frac{16}{25}$

Quando a função é dada pela sua expressão analítica, o domínio é o maior subconjunto de $\mathbb{R}$ onde a expressão tem significado. Por exemplo, a função $g(x)= x^3-3x$ tem domínio $D_g=\mathbb{R}$ e a função $\displaystyle h(x)=\frac{1}{x-1}$ tem domínio $D_h=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

Chama-se gráfico de uma função $f$, real de variável real, ao subconjunto de $\mathbb{R}^2$ definido por

$Gr_f=\{ (x, \; y) \in \mathbb{R}^2: \ x \in D_f \mbox{ e } y=f(x)\}.$

Para obter o gráfico de uma função marcam-se num referencial no plano $\mathbb{R}^2$ pares ordenados de pontos $(x,f(x))$. No eixo horizontal (eixo das abcissas) marcam-se os valores $x$ do domínio de $f$ e no eixo vertical (eixo das ordenadas) marcam-se os valores correspondentes para $f(x)$ (o contradomínio de $f$).

Para que uma curva represente o gráfico de uma função, qualquer reta vertical interseta a curva no máximo num ponto (pode não intersetar em nenhum, caso o domínio da função não seja $\mathbb{R}$).

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