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| − | \subsubsection{A função módulo}
| + | ==A função módulo== |
| − | A função \emph{módulo} pode ser encarada como uma função definida por ramos: | + | A função '''módulo''' pode ser encarada como uma função definida por ramos: |
| − | \begin{center}
| + | |
| − | \begin{pvplot}[name=mod,pos=c,unit=10mm](-4,15)(-.8,4.5)
| + | |
| − | \pvaxes[x=x,y=y,xrange={-4,5}]
| + | |
| − | \pvfunct[size=2]{abs(x):(-3,3.5)}
| + | |
| − | \pvpoint[x=\scriptstyle1,dash](2,2){}
| + | |
| − | \pvpoint[x=\scriptstyle-1,dash](-2,2){}
| + | |
| − | \pvpoint(0,2)[lb]{\scriptstyle1}
| + | |
| − | \pvpoint(3,2.5){y=|x|}
| + | |
| − | \pvpoint(9,2.5)[r]{|x|=\DS\begin{cases}
| + | |
| − | \ \;x&\text{se }x\ge0\\-x&\text{se }x<0\end{cases}}
| + | |
| − | \end{pvplot}
| + | |
| − | \end{center}
| + | |
| − | Esta função é contínua (o gráfico não tem ``saltos"), tem um zero em $x=0$, é decrescente em $]-\infty,0[$ e crescente em $]0,+\infty[$. $(0,f(0))=(0,0)$ é um mínimo local e global da função.
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| | + | [[File:modulo1.jpg]] |
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| − | \noindent A representação gráfica da função módulo pode ajudar na resolução de problemas algébricos, como o exemplo seguinte ilustra.
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| − | \subsubsection*{Exemplo}
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| − | \noindent Resolva a inequação
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| − | $|x|+|x-1|\le3$.
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| | + | Esta função é contínua (o gráfico não tem "saltos"), tem um zero em $x=0$, é decrescente em $]-\infty,0[$ e crescente em $]0,+\infty[$. $(0,f(0))=(0,0)$ é um mínimo local e absoluto da função. |
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| − | \noindent Como $$|x|+|x-1|\le3 \Leftrightarrow |x-1|\le-|x|+3,$$ traçando o gráfico das funções $f(x)=|x-1|$ e $g(x)=-|x|+3$, basta analisar onde a desigualdade $f(x) \le g(x)$ (ou seja, os intervalos onde o gráfico de $f$ está abaixo do gráfico de $g$) se verifica:
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| − | \begin{itemize}
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| − | \item A função $|x-1|$ pode ser obtida por uma translação horizontal da função $|x|$ (primeira imagem);
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| − | \item A função $-|x|$ é obtida reflectindo a função $|x|$ sobre o eixo das abcissas e $-|x|+3$ obtém-se da anterior fazendo uma translação vertical do gráfico de $-|x|$ de 3 unidades para cima (imagem dois);
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| − | \item Finalmente, traçando os dos gráficos no mesmo referencial, facilmente se observa que $|x-1|\le-|x|+3$ se verifica se $-1 \le x \le 2$.\end{itemize}
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| − | \begin{tabular}{ccc}
| + | A representação gráfica da função módulo pode ajudar na resolução de problemas algébricos, como o exemplo seguinte ilustra. |
| − | \begin{pvplot}[pos=.45,name=in,unit=6mm](-3.5,4)(-2,4)
| + | |
| − | \pvaxes[x=\scriptscriptstyle x,y=\scriptscriptstyle y]
| + | |
| − | \pvfunct[color=blue,size=2,name=ap]{abs(x):(-3.2,3.2)}
| + | |
| − | \pvfunct[size=2,name=ah]{abs(x-1):(-2.5,3.2)}
| + | |
| − | \pvpoint[x=\scriptscriptstyle1](1,0){}
| + | |
| − | \pvpoint(-2,.7)[]{\color{blue}\scriptstyle|x|}
| + | |
| − | \pvpoint(3.4,.7)[]{\scriptstyle|x-1|}
| + | |
| − | \end{pvplot} &
| + | |
| − | \begin{pvplot}[pos=.45,name=in,unit=6mm](-3.5,4)(-2,4)
| + | |
| − | \pvaxes[x=\scriptscriptstyle x,y=\scriptscriptstyle y]
| + | |
| − | \pvfunct[color=blue,size=2,name=an]{-abs(x):(-1.7,1.7)}
| + | |
| − | \pvfunct[size=2,name=av]{3-abs(x):(-3.2,3.2)}
| + | |
| − | \pvpoint[y=\scriptscriptstyle3](-.1,3){}
| + | |
| − | \pvpoint(-2.5,-1)[]{\color{blue}\scriptstyle-|x|}
| + | |
| − | \pvpoint(2.5,2.3)[]{\scriptstyle-|x|+3}
| + | |
| − | \end{pvplot} &
| + | |
| − | \begin{pvplot}[pos=.45,name=in,unit=6mm](-3.5,4)(-2,4)
| + | |
| − | \pvfunct[color=red,size=6]{0:(-1,2)}
| + | |
| − | \pvaxes[x=\scriptscriptstyle x,y=\scriptscriptstyle y]
| + | |
| − | \pvfunct[size=2,name=av]{3-abs(x):(-3.2,3.2)}
| + | |
| − | \pvfunct[size=2,name=ah]{abs(x-1):(-2.5,3.2)}
| + | |
| − | \pvpoint[x=\scriptscriptstyle2,xdash](2,1){}
| + | |
| − | \pvpoint[x=\scriptscriptstyle-1,xdash](-1,2){}
| + | |
| − | \pvpoint(1.6,3.1)[]{\scriptstyle-|x|+3}
| + | |
| − | \pvpoint(3.8,1.2)[]{\scriptstyle|x-1|}
| + | |
| − | \end{pvplot} \\
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| − | Imagem 1 & Imagem 2 & Imagem 3 \\
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| − | \end{tabular}
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| | + | [[Exemplo 18|Exemplo]] [[Outros exemplos]] |
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| − | \subsubsection*{Exercícios Resolvidos}
| + | [[Exercícios 4|Exercícios propostos]] |
| − | Seja $f$ a função definida por $f(x)=|x^2-3x+2|$.
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| − | \begin{description}
| + | |
| − | \item[(a)] Reescreva a expressão analítica de $f$ sem usar o símbolo $|\ |$.
| + | |
| − | \item[(b)]Determine o conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$ por forma a que a proposição ``$f(x)<1, \mbox{ se e só se } x \in A$" \ seja verdadeira.
| + | |
| − | \end{description}
| + | |
| − | \textbf{Resolução:} \begin{description}
| + | |
| − | \item[(a)] Comecemos por analisar o sinal de $x^2-3x+2$.
| + | |
| − | $$x^2-3x+2=0 \Leftrightarrow x=\frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}\Leftrightarrow x=2 \vee x=1.
| + | |
| − | \mbox{ Assim, }x^2-3x+2=(x-2)(x-1).$$
| + | |
| − | O produto será positivo se os dois factores tiverem o mesmo sinal e negativo se os factores tiverem sinais contrários. Então:
| + | |
| − | $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
| + | |
| − | &\hspace{1cm} & 1 & \hspace{1cm} & 2 & \hspace{1cm} \\ \hline
| + | |
| − | x-1 & - & 0 & + & + & + \\ \hline
| + | |
| − | x-2 & - & - & - & 0 & + \\ \hline
| + | |
| − | (x-1)(x-2)& + & 0 & - & 0 & + \\
| + | |
| − | \end{array}$$
| + | |
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| − | $$\begin{array}{c}
| + | [[Matemática Elementar#Funções reais de variável real|Voltar]] [[Translações de gráficos|Seguinte]] |
| − | x^2-3x+2=(x-2)(x-1) > 0 \mbox{ se } x \in ]- \infty , 1 [ \cup ]2, + \infty[ \\
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| − | \mbox{ e } \\
| + | |
| − | x^2-3x+2=(x-2)(x-1) < 0 \mbox{ se } x \in ]1,2[
| + | |
| − | \end{array}$$
| + | |
| − | Podemos agora definir a função $f$ por ramos da seguinte forma:
| + | |
| − | $$f(x)= \left \{ \begin{array}{lll}
| + | |
| − | x^2-3x+2 & \mbox{ se } & x \leq 1 \vee x > 2 \\
| + | |
| − | & & \\
| + | |
| − | -x^2+3x-2 & \mbox{ se } & 1 < x \leq 2 \\
| + | |
| − | \end{array}
| + | |
| − | \right.$$
| + | |
| − | Repare que $f(1)=f(2)=0$ sendo portanto indiferente calcular o valor da função nestes pontos num ou noutro ramo.
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| − | \item[(b)] Pretende-se determinar o conjunto
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| − | $$A =\{x \in \mathbb{R}: |x^2-3x+2|<1 \}=\{x \in \mathbb{R}: -1<x^2-3x+2<1 \}$$
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| − | Resolvendo as duas inequações temos:
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| − | {\small
| + | |
| − | $$\begin{array}{l||l}
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| − | -1<x^2-3x+2\Leftrightarrow x^2-3x+3 > 0 & x^2-3x+2<1\Leftrightarrow x^2-3x+1<0 \\
| + | |
| − | & \\ | + | |
| − | \mbox{A equação }x^2-3x+3 = 0 \mbox{ não tem raízes } & \mbox{A equação }x^2-3x+1 = 0 \mbox{ admite as raízes } \\
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| − | \mbox{reais.}&\DS x= \frac{3-\sqrt{5}}{2} \mbox{ e } x= \frac{3+\sqrt{5}}{2}.\\
| + | |
| − | \mbox{Portanto }x^2-3x+3 > 0, \forall x \in \mathbb{R} & \mbox{Portanto }x^2-3x+1 < 0, \forall x \in \DS \left ] \frac{3-\sqrt{5}}{2} , \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right[\\
| + | |
| − | \end{array}$$
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| − | }
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| − | O conjunto $A $ é a intersecção dos conjuntos solução das duas inequações,
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| − | $$A=\mathbb{R}\cap \DS \left ] \frac{3-\sqrt{5}}{2} , \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right[ = \DS \left ] \frac{3-\sqrt{5}}{2} , \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$$
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| − | \end{description}
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | \subsubsection*{Exercícios Propostos}
| + | |
| − | \begin{enumerate}
| + | |
| − | \item Reescreva a expressão analítica das seguintes funções, sem usar o símbolo módulo:
| + | |
| − | \begin{description}
| + | |
| − | \item[(a)] $f(x)=|x-1|$;
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| − | \item[(b)] $g(x)=|x|-3.$
| + | |
| − | \end{description}
| + | |
| − | \item
| + | |
| − | Utilize o processo gráfico para resolver as inequações:
| + | |
| − | \begin{description}
| + | |
| − | \item[(a)] $|x^2-1|\le x+1$;
| + | |
| − | \item[(b)] $|2-x| \ge 2-|x+3|$.
| + | |
| − | \end{description}
| + | |
| − | \end{enumerate}
| + | |
Esta função é contínua (o gráfico não tem "saltos"), tem um zero em $x=0$, é decrescente em $]-\infty,0[$ e crescente em $]0,+\infty[$. $(0,f(0))=(0,0)$ é um mínimo local e absoluto da função.
