Limites infinitos e limites no infinito
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Diz-se que '''$f$ tem limite $+\infty$ quando $x$ tende para $a$ em $D$''', $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=+\infty,$ | Diz-se que '''$f$ tem limite $+\infty$ quando $x$ tende para $a$ em $D$''', $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=+\infty,$ | ||
se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos | se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos | ||
| − | de $D$, distintos de $a$, que tende para $a | + | de $D$, distintos de $a$, que tende para $a$, a correspondente |
| − | sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $+\infty | + | sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $+\infty$. |
$$\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=a \Rightarrow \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty$$ | $$\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=a \Rightarrow \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty$$ | ||
Revision as of 18:16, 14 November 2012
Diz-se que $f$ tem limite $+\infty$ quando $x$ tende para $a$ em $D$, $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=+\infty,$ se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, distintos de $a$, que tende para $a$, a correspondente sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $+\infty$.
$$\displaystyle \lim_{n \to +\infty}x_n=a \Rightarrow \lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty$$
Diz-se que $f$ tem limite $l$ quando $x$ tende para $+\infty$ em $D$, $$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=l,$$ se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, que tende para $+\infty$ $\displaystyle \left( \lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty\right)$, a correspondente sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $l$, $\displaystyle \left(\lim_{n \to +\infty}f(x_n)=l\right)$.
Diz-se que $f$ tem limite $+\infty$ quando $x$ tende para $+\infty$ em $D$,
$$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,$$
se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, que tende para $+\infty$ $\displaystyle \left( \lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty\right)$, a correspondente sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $+\infty$, $\displaystyle \left(\lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty\right)$.
Definem-se de modo análogo $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=-\infty$, $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=l$, $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$ e $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$.
Convém sublinhar que $+\infty$ e $-\infty$ não são números reais e quando $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = +\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = -\infty$, diz-se que não existe em $\mathbb{R}$ o limite de $f(x)$ quando $x$ tende para $a$.
