Inequações do 2º grau

Revision as of 15:29, 16 October 2012

Inequações do 2º grau

O gráfico da função $f(x)=ax^2+bx+c$, com $a\neq0$, é uma parábola. Se $a<0$ a concavidade da parábola é voltada para baixo e se $a>0$ a concavidade é voltada para cima.

Resolver a inequação $ax^2+bx+c > 0$ é determinar os valores de $x$ para os quais a função $f$ é positiva, isto é, o gráfico da função fica acima do eixo dos $xx$.

Analogamente, resolver a inequação $ax^2+bx+c<0$ é determinar os valores de $x$ para os quais a função é negativa, ou seja, o gráfico da função fica abaixo do eixo dos $xx$.

As soluções deste tipo de inequações dependem do valor de $a$ e da posição do vértice da parábola correspondente à inequação tal como ilustram as tabelas seguintes. Recorde-se que a ordenada do vértice é dada por $y_v=\displaystyle -\frac{\Delta}{4a}$ e a abcissa é $\displaystyle x_v=-\frac{b}{2a}$, com $\Delta = b^2-4ac$.

Por exemplo a parábola $y=3x^2$, tem o vértice em $(0,0)$ e a concavidade voltada para cima, enquanto que a parábola $y=-3x^2$ tem o mesmo vértice mas a concavidade voltada para baixo.

Neste caso temos a concavidade voltada para cima, por isso $a>0$ e a parábola interseta o eixo das abcissas em dois pontos, portanto $\Delta > 0$. O vértice da parábola tem uma ordenada negativa.

Exemplo

A parábola $2x^2-2x-12$ tem $a=2$ e $\Delta=(-2)^2-4\times 2 \times (-12)=100$. Podemos então afirmar que a parábola tem a concavidade voltada para cima, tem dois zeros, $\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2 \pm 10}{4}$ ($x=3$ ou $x=-2$) e o seu vértice é $\displaystyle \left(-\frac{-2}{2 \times 2},-\frac{100}{8}\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{25}{2}\right)$.

O conjunto solução de $2x^2-2x-12<0$ é $]-2,3[$ e o conjunto solução de $2x^2-2x-12<0$ é $]-\infty,-2[ \cup ]3,+\infty[$.

Neste caso temos a concavidade voltada para cima, por isso $a>0$ e a parábola interseta o eixo das abcissas apenas num ponto, portanto $\Delta = 0$. O vértice da parábola é o seu zero.

Consideremos a parábola $x^2-10x+25$. Nesta caso, $a=1$ e $\Delta=(-10)^2-4 \times 1 \times 25=0$. O único zero da função é $x=5$, e portanto o vértice da parábola é $(5,0)$.

O conjunto solução da inequação $x^2-10x+25 <0$ é o conjunto vazio, $\emptyset$. O conjunto solução de $x^2-10x+25>0$ é $\mathbb{R}\setminus\{5\}$. Note-se que o conjunto solução de $x^2-10x+25 \ge 0$ é $\mathbb{R}$ e o conjunto solução de $x^2-10x+25\le 0$ é $\{5\}$.

Neste caso temos a concavidade voltada para cima, por isso $a>0$ e a parábola interseta o eixo das abcissas apenas num ponto, portanto $\Delta = 0$. O vértice da parábola é o seu zero.

\begin{tabular}{c} \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-49-QINU\\ \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-50-QINU e UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-51-QINU \\ \\ não tem zeros \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \includegraphics[width=1in]{parabolas3} \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-52-QINU \\ \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-53-QINU \\ \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-54-QINU \\ \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-55-QINU \\ \\ \end{tabular} \\ \hline \begin{tabular}{c} \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-56-QINU \\ (concavidade para baixo) \\ \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-57-QINU e UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-58-QINU \\ \\ dois zeros distintos \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \includegraphics[width=1in]{parabolas4} \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-59-QINU \\ \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-60-QINU\\ \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c}\\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-61-QINU \\ \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-62-QINU \\ \\ \end{tabular} \\ \hline

\begin{tabular}{c} \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-63-QINU\\ \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-64-QINU e UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-65-QINU \\ \\ um zero (duplo) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \includegraphics[width=1in]{parabolas5} \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-66-QINU \\ \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-67-QINU\\ \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-68-QINU \\ \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-69-QINU \\ \\ \end{tabular} \\ \hline

\begin{tabular}{c} \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-70-QINU\\ \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-71-QINU e UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-72-QINU \\ \\ não tem zeros \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \includegraphics[width=1in]{parabolas6} \end{tabular} & \begin{tabular}{c}\\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-73-QINU \\ \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-74-QINU\\ \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c}\\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-75-QINU \\ \\ UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-76-QINU \\ \\ \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}

\subsubsection*{Exercícios Propostos} \begin{enumerate} \item Determine o menor número natural que verifica a condição UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-82-QINU \item Determine, em UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-77-QINU, o conjunto solução das seguintes inequações \begin{tabular}{ll} (a) UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-78-QINU \ \ \ \ \ \ \ & (b) UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-79-QINU \\ (c) UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-80-QINU & (d) UNIQ6ef7de505ec7e4a9-MathJax-81-QINU \end{tabular} \end{enumerate}