Zeros e sinal de uma função
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| + | Por exemplo, os zeros da função $f(x)=x^3-x$ são $x=0$, $x=1$ e $x=-1$: | ||
$$x^3-x=0 \Leftrightarrow x(x^2-1)=0\Leftrightarrow x=0 \vee x=1 \vee x=-1$$ | $$x^3-x=0 \Leftrightarrow x(x^2-1)=0\Leftrightarrow x=0 \vee x=1 \vee x=-1$$ | ||
Isto signfica que $f(0)=f(1)=f(-1)=0$, ou em termos gráficos, que o gráfico da função $f$, intersecta o eixo das abcissas nos pontos $(0,0)$, $(1,0)$ e $(-1,0)$. | Isto signfica que $f(0)=f(1)=f(-1)=0$, ou em termos gráficos, que o gráfico da função $f$, intersecta o eixo das abcissas nos pontos $(0,0)$, $(1,0)$ e $(-1,0)$. | ||
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| − | + | Determinar o sinal da função, é o mesmo que determinar os intervalos onde $f(x) <0$ e onde $f(x) >0$, ou seja, resolver estas inequações. | |
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline | $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline | ||
x &\hspace{1.2cm} & -1 &\hspace{1.2cm} & 0 & \hspace{1.2cm}& 1 & \hspace{1.2cm}\\ \hline | x &\hspace{1.2cm} & -1 &\hspace{1.2cm} & 0 & \hspace{1.2cm}& 1 & \hspace{1.2cm}\\ \hline | ||
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Temos assim que $f(x)<0$ se e só se $x<-1$ ou $0<x<1$ e $f(x)>0$ se e apenas se $-1<x<0$ ou $x>1$. | Temos assim que $f(x)<0$ se e só se $x<-1$ ou $0<x<1$ e $f(x)>0$ se e apenas se $-1<x<0$ ou $x>1$. | ||
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Revision as of 16:19, 30 October 2012
Graficamente, os zeros de uma função são os pontos de intersecção do seu gráfico com o eixo das abcissas, ou seja, as soluções da equação $f(x)=0$.
Por exemplo, os zeros da função $f(x)=x^3-x$ são $x=0$, $x=1$ e $x=-1$:
$$x^3-x=0 \Leftrightarrow x(x^2-1)=0\Leftrightarrow x=0 \vee x=1 \vee x=-1$$
Isto signfica que $f(0)=f(1)=f(-1)=0$, ou em termos gráficos, que o gráfico da função $f$, intersecta o eixo das abcissas nos pontos $(0,0)$, $(1,0)$ e $(-1,0)$.
Determinar o sinal da função, é o mesmo que determinar os intervalos onde $f(x) <0$ e onde $f(x) >0$, ou seja, resolver estas inequações. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x &\hspace{1.2cm} & -1 &\hspace{1.2cm} & 0 & \hspace{1.2cm}& 1 & \hspace{1.2cm}\\ \hline x & - & -1 & - & 0 & + & 1 & + \\ \hline x^2-1 & + & 0 & - & -1 & - & 0 & + \\ \hline \hline x^3-x & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array}$$ Temos assim que $f(x)<0$ se e só se $x<-1$ ou $0<x<1$ e $f(x)>0$ se e apenas se $-1<x<0$ ou $x>1$.
