Exemplos
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* A função $\displaystyle j(x)=\frac{1}{x}$ tem domínio $D_j= \mathbb{R}\setminus \{0\}$ e contradomínio $CD_j=\mathbb{R}\setminus \{0\}$. | * A função $\displaystyle j(x)=\frac{1}{x}$ tem domínio $D_j= \mathbb{R}\setminus \{0\}$ e contradomínio $CD_j=\mathbb{R}\setminus \{0\}$. | ||
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A função $j$ é injectiva: | A função $j$ é injectiva: | ||
$$j(x)=j(x')( \mbox{ com }x,x' \in D_j )\Longleftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{x'} \Longleftrightarrow x= x'.$$ Contudo, a função $j$ não é sobrejectiva, já que $0$ não é imagem de nenhum ponto do domínio de $j$. Por outras palavras, o contradomínio $\left( CD_j=\mathbb{R}\setminus \{0\}\right)$ não coincide com o conjunto de chegada $\left(\mathbb{R}\right)$. | $$j(x)=j(x')( \mbox{ com }x,x' \in D_j )\Longleftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{x'} \Longleftrightarrow x= x'.$$ Contudo, a função $j$ não é sobrejectiva, já que $0$ não é imagem de nenhum ponto do domínio de $j$. Por outras palavras, o contradomínio $\left( CD_j=\mathbb{R}\setminus \{0\}\right)$ não coincide com o conjunto de chegada $\left(\mathbb{R}\right)$. | ||
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Revision as of 17:09, 30 October 2012
- A função $\displaystyle j(x)=\frac{1}{x}$ tem domínio $D_j= \mathbb{R}\setminus \{0\}$ e contradomínio $CD_j=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
A função $j$ é injectiva:
$$j(x)=j(x')( \mbox{ com }x,x' \in D_j )\Longleftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{x'} \Longleftrightarrow x= x'.$$ Contudo, a função $j$ não é sobrejectiva, já que $0$ não é imagem de nenhum ponto do domínio de $j$. Por outras palavras, o contradomínio $\left( CD_j=\mathbb{R}\setminus \{0\}\right)$ não coincide com o conjunto de chegada $\left(\mathbb{R}\right)$.
\begin{minipage}{3in}
\begin{pvplot}[unit=7mm](-4,4.5)(-4,4.5)
\pvaxes[x=x,y=y]
\pvfunct{1/x:(-3.8,3.8)->(-3.8,3.8)}
\pvpoint[dash,x=1,y=1,pt](1,1){}\pvpoint(2,3){j(x)=\frac1x}
\end{pvplot}
\end{minipage}
\item Das seguintes funções indicam-se as injectivas e as sobrejectivas:
\begin{center} \begin{tabular}{cc} \begin{pvplot}[name=exp,unit=7.5mm](-3,3.5)(-2.5,3) \pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y] \pvfunct[size=2]{exp(.6*x):(-2.5,2.5)} \pvpoint[y={}](0,1)[l]{\ \scriptstyle1} %\pvpoint(0,-2.3)[t]{y=e^x} \end{pvplot} & \hspace{1cm}\begin{pvplot}[name=cos,unit=7.5mm](-3,3.5)(-2.5,3) \pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y] \pvfunct[size=2]{cos(1.8*x)/1.8:(-2.8,3)} \pvpoint(.4,1)[]{\scriptstyle1} \pvpoint[x=\scriptstyle\frac\pi2](.87,0){} %\pvpoint(0,-2.5)[t]{y=\cos x} \end{pvplot}\\ & \\ Injectiva e não sobrejectiva &\hspace{1cm} Não injectiva e não sobrejectiva \\ & \\ \begin{pvplot}[name=tan,unit=7.5mm](-3,3.5)(-2.5,3) \pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y] \pvfunct[size=2]{tan(1.2*x):(-2.7,3)->(-2.3,2.8)} \pvdash(-1.31,-2.4)(-1.31,2.9) \pvdash(1.31,-2.4)(1.31,2.9) \pvpoint(1.2,-.1)[bl]{\scriptstyle\frac\pi2} \pvpoint(-1.2,.1)[tr]{\scriptstyle-\frac\pi2} %\pvpoint(0,-2.5)[t]{y=\tan x} \end{pvplot} & \hspace{1cm} \begin{pvplot}[name=cub,unit=7.5mm](-3,3.5)(-2.5,3) \pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y] \pvfunct[size=2]{(.6*x)**3:(-2.5,2.5)->(-2.3,2.8)} %\pvpoint(0,-2.3)[t]{y=x^3} \end{pvplot} \\ & \\ Sobrejectiva e não injectiva & \hspace{1cm}Injectiva e sobrejectiva - bijectiva \\ \end{tabular} \end{center}
\end{itemize}
\subsubsection*{Exercício Proposto} Considere as funções definidas por:
$$f(x)=\sqrt{x}; \hspace{0.4cm} g(x)=x^2; \hspace{0.4cm}h(x)=-3x+4$$
\begin{description} \item[(a)] Determine os seus domínios. \item[(b)] Determine os seus contradomínios. \item[(c)] Indique, justificando, se as funções são injectivas e/ou sobrejectivas. \end{description}
