Função logarítmica
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Revision as of 16:18, 8 November 2012
Chama-se função logarítmica de base $a$, com $a>0$ e $a\neq 1$, à correspondência $$\begin{array}{llll} g: &\mathbb{R^+} & \longrightarrow& \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & \log_a{x}, \end{array}$$
A função logarítmica é a inversa da função exponencial, isto é, $$\begin{array}{ccc} \begin{array}{llll} f: &\mathbb{R} &\longrightarrow & \mathbb{R} \\ & y & \longmapsto & x=a^y \end{array} & \hspace{1cm} & \begin{array}{llll} f^{-1}=g: &\mathbb{R^+} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & y=\log_a{x} \end{array} \end{array} $$ Como o domínio da exponencial é $\mathbb{R}$ e o contradomínio é $\mathbb{R}^+$, o domínio da função logarítmica é $\mathbb{R}^+$, o contradomínio da exponencial, e o contradomínio da função logarítmica é $\mathbb{R}$, o domínio da exponencial. Note-se que, pelas propriedades dos logaritmos, temos $$\left(f^{-1}\circ f\right)(x)=\log_a{a^x}=x \hspace{0.5cm} \mbox{ e }\hspace{0.5cm} \left(f\circ f^{-1}\right)(y)=a^{\log_a{y}}=y.$$
Função Logarítmica de Base ${\large a}$, com $a>1$
%\begin{center} \begin{minipage}{5cm}\centering \begin{pvplot}[name=logc,unit=10mm,build](-.5,5)(-2.5,3) \pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y] \pvfunct[size=2]{5*log(x)/3:(0,4.5)->(-2.2,2.7)} \pvpoint[x={}](1,0)[t]{\scriptstyle1} \pvpoint[y=\scriptstyle 1,x=\scriptstyle a,dash](1.82,1){} \pvpoint(1.5,2.5)[]{y=\log_ax} \pvpoint(3,.5)[]{\scriptstyle(a>1)} \end{pvplot} %\end{center} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{115mm}%\centering \begin{itemize} \item Domínio UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-17-QINU. Contradomínio UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-18-QINU. \item A função tem um único zero em UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-19-QINU. O gráfico de UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-20-QINU não intersecta o eixo das ordenadas. \item É uma função \emph{contínua} em todo o domínio. \item A função é estritamente crescente em UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-21-QINU e portanto injectiva. \item Se UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-22-QINU está próximo de UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-23-QINU, UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-24-QINU toma valores negativos de valor absoluto muito elevado\footnote{Se UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-25-QINU, temos UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-26-QINU, UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-27-QINU, UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-28-QINU, UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-29-QINU \\ Se UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-30-QINU, UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-31-QINU, UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-32-QINU, UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-33-QINU }. Dizemos que UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-4-QINU ou que UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-34-QINU é uma assímptota vertical ao gráfico de UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-35-QINU. \item Se UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-36-QINU toma valores muito elevados, isto é, se UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-37-QINU tende para UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-38-QINU, a função UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-39-QINU também assume valores muito elevados\footnote{UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-40-QINU, UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-41-QINU, UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-42-QINU, UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-43-QINU \\ Se UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-44-QINU, UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-45-QINU, UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-46-QINU, UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-47-QINU}, tende para UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-48-QINU, e escrevemos UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-5-QINU \end{itemize} \end{minipage}
Função Logarítmica de Base ${\large a}$, com $0<a<1$
\begin{minipage}{5cm}%\centering \begin{pvplot}[name=logd,unit=10mm,build](-.5,5)(-2.5,3) \pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y] \pvfunct[size=2]{-5*log(x)/3:(0,4.5)->(-2.2,2.7)} \pvpoint[x={}](1,0)[t]{\scriptstyle1} \pvpoint[y=\scriptstyle 1,x=\scriptstyle a,dash](.55,1){} \pvpoint(3,2)[]{y=\log_ax} \pvpoint(3,1)[]{\scriptstyle(0<a<1)} \end{pvplot} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{115mm}%\centering \begin{itemize} \item Domínio UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-51-QINU. Contradomínio UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-52-QINU. \item O gráfico de UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-53-QINU intersecta o eixo das abcissas no ponto UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-54-QINU e não intersecta o eixo das ordenadas. \item A função é \emph{contínua} em todo o domínio. \item A função é estritamente decrescente em UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-55-QINU e portanto injectiva. \item Se UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-56-QINU está próximo de UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-57-QINU, UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-58-QINU toma valores muito elevados. Dizemos que UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-6-QINU ou que UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-59-QINU é uma assímptota vertical ao gráfico de UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-60-QINU. \item Se UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-61-QINU toma valores muito elevados, isto é, se UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-62-QINU tende para UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-63-QINU, a função UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-64-QINU também assume valores muito elevados em módulo, mas negativos, isto é, tende para UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-65-QINU e escrevemos UNIQ631166aa304a2dd2-MathJax-7-QINU \end{itemize} \end{minipage}
