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| | ===Exemplo 1=== | | ===Exemplo 1=== |
| | Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites: | | Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites: |
| − | '''1.''' $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x-3}$ & \textbf{2.} $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3}$ & \textbf{3.} $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{2-x}$\\
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| − | & & \\
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| − | \textbf{4.} $\displaystyle \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2-1}$ & \textbf{5.} $\displaystyle \lim_{x \to 2} \ln(x-2)$ & \textbf{6.} $\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}$\\
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| − | \end{tabular}\\
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| − | \textbf{Resolução:}
| + | '''1.''' $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x-3}$ |
| − | \begin{enumerate}
| + | |
| − | \item $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x-3}=0$ (porque $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x-3)=+\infty$ e o inverso de um infinitamente grande é um infinitésimo).
| + | |
| − | \item $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3}=?$\\
| + | |
| | | | |
| − | \vspace{0,1cm}
| + | '''2.''' $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3}$ |
| − | Vamos calcular os limites laterais:\\
| + | |
| − | $\displaystyle \lim_{x \to 3^-} \frac{1}{x-3}=-\infty$ (como $x \to 3^-$ tem-se $(x-3)\to 0^-$ e ``$\frac{1}{0^-}=-\infty$'')\\
| + | |
| − | $\displaystyle \lim_{x \to 3^+} \frac{1}{x-3}=\frac{1}{0^+}=+\infty$ (tem-se $(x-3)\to 0^+$ e ``$\frac{1}{0^+}=+\infty$'')\\ | + | |
| | | | |
| − | \vspace{0,1cm}
| + | '''3.''' $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{2-x}$ |
| − | Como os limites laterais são diferentes, não existe $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{1}{x-3}$.\\
| + | |
| | | | |
| − | \vspace{0,1cm} | + | '''4.''' $\displaystyle \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2-1}$ |
| − | (Para determinarmos se um limite tende para $0$ por valores à direita ($0^+$) ou por valores à esquerda ($0^-$), basta termos em conta o sinal da
| + | |
| − | função à direita e à esquerda de 0. Neste caso a função $y=x-3$ é
| + | |
| − | positiva para valores superiores a 3 e negativa para valores inferiores a 3.)
| + | |
| | | | |
| | + | '''5.''' $\displaystyle \lim_{x \to 2} \ln(x-2)$ |
| | | | |
| | + | '''6.''' $\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}$ |
| | | | |
| − | \item $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{1}{2-x}=+\infty$ (é ``$\frac{1}{0^+}$'' porque a função
| + | [[Resolução 7|Resolução]] |
| − | $y=2-x$ é positiva à esquerda de 2).
| + | |
| − | \item $\displaystyle \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{x^2-1}=-\infty$ (é ``$\frac{1}{0^-}$'' porque a função
| + | |
| − | $y=x^2-1$ é negativa para valores à direita de $-1$ que estão próximos de $-1$. O gráfico da função $y=x^2-1$ é uma parábola com a concavidade voltada para cima).
| + | |
| − | \item $\displaystyle \lim_{x \to 2} \ln(x-2)=\displaystyle \lim_{x \to 2^+} \ln(x-2)=-\infty$\\
| + | |
| − | (Note-se que função só está definida à direita de 2 e ``$\ln(0^+)=-\infty$'').
| + | |
| − | \item $\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}=?$\\
| + | |
| − | \vspace{0,1cm}
| + | |
| − | Vamos determinar os limites laterais quando $x$ tende para $0$:\\
| + | |
| − | $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}}=+\infty$ \qquad($\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty$ e ``$e^{+\infty}=+\infty$'')\\
| + | |
| − | $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}}=0$ \qquad($\displaystyle \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty$ e ``$e^{-\infty}=0$'')\\
| + | |
| − | Como os limites laterais são diferentes, não existe $\displaystyle \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x}}$.
| + | |
| − | \end{enumerate}
| + | |
