Interpretação geométrica da derivada
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Interpretação geométrica da derivada
Seja $f$ uma função real de variável real. Uma reta que passa por dois pontos distintos do gráfico de $f$ diz-se
reta secante ao gráfico de $f$.
A equação da recta secante, $s$, ao gráfico de $f$ em $(a,f(a))$ e $(b,f(b))$, é dada por\\ $$\DS y=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a).$$ Ao declive da recta secante, $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ chama-se \emph{\textbf{taxa de variação }}da função $f$ no intervalo $[a,b]$.\\
A \emph{\textbf{recta tangente}} ao gráfico de $f$ no ponto $(a,f(a))$ tem declive $f'(a)$ e sua equação é $$y=f'(a)(x-a)+f(a).$$
\begin{center}
\begin{enumerate} %\item Determine a derivada da função dada por $f(x)=x^2$. \item Determine a recta tangente ao gráfico da função dada por $f(x)=x^2$ no ponto de abcissa $x_0=-1$.
\textbf{Resolução:} \\Por definição de derivada de uma função num ponto, $x_0$, temos, $$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}= \lim_{x\to x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}{(x+x_0)}=2x_0 \in \mathbb{R}$$ Como $x_0$ é um número real arbitrário, $f$ é derivável em $\mathbb{R}$.
A recta tangente ao gráfico de $f$ no ponto $x_0=-1$ tem declive $f'(-1)$ (derivada de $f$ no ponto $x_0=-1$) e é dada por: $$\displaystyle y=f'(-1)(x+1)+f(-1)= -2x-1.$$
\item Seja $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ cujo gráfico é uma recta, $r$. Mostre que a tangente ao gráfico da função em qualquer ponto é a própria recta $r$.\\
\textbf{Resolução:}
Consideremos a função $f(x)=ax+b$, com $a, b \in \mathbb{R}$ (cujo gráfico é uma recta com declive $a$ e ordenada na origem $b$), derivável em $\mathbb{R}$. A derivada de $f$ é dada por: $$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{a(x-x_0)}{x-x_0}=a,$$ i.e, $f'(x_0)=a$ para qualquer número real $x_0$.
{\small Se fizermos $x_0=1$, a equação da recta tangente ao gráfico de $f$ neste ponto é dada por $$\displaystyle y=f'(1)(x-1)+f(1)=ax+b.$$ } Efectivamente,
qualquer que seja o ponto $x_0\in \mathbb{R}$ a recta tangente coincide com o gráfico da própria função:
$$\displaystyle y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=a(x-x_0)+ax_0+b=ax+b.$$
