Progressões geométricas - resolução 2
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1. A sucessão dada é uma progressão geométrica se o quociente entre dois termos consecutivos for constante. Como $$\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{-3\; \left(-3\right)^{-2 \, n}}{-3\; \left(-3\right)^{-2 \, n + 2}}=\frac{\left(-3\right)^{-2 \, n}}{\left(-3\right)^{-2 \, n + 2}}=\left(-3\right)^{-2 \, n-(-2 \, n + 2)}=\left(-3\right)^{-2},$$ conclui-se que $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1}{9} ,\, \forall n\in \mathbb{N}$ o que permite concluir que a sucessão dada é uma progressão geométrica de razão $\displaystyle \frac{1}{9}$.
2. Como a sucessão dada é uma progressão geométrica de razão $\displaystyle \frac{1}{9}$ e primeiro termo $\displaystyle u_1=-3$ vem $$\displaystyle \sum_{n=1}^{20} u_n=-3 \, \frac{1-\left(\frac{1}{9}\right)^{20}}{1-\frac{1}{9}}\simeq -0.75$$
