Resolução-2
(Created page with "'''(a)''' Comecemos por observar que o domínio da expressão $2\ln x-\ln (x-1)$ é $$\displaystyle \{x \in \mathbb{R}:x > 0 \wedge x > 1 \}=\{x \in \mathbb{R}:x > 1\}.$$ Apli...") |
|||
| Line 43: | Line 43: | ||
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
| − | Como $$\log_2 {(x+1)}-1=0\Leftrightarrow \log_2 {(x+1)}=1\Leftrightarrow x+1=2^1\Leftrightarrow x=1\hspace{3mm} \mbox{ (pela | + | Como $$\log_2 {(x+1)}-1=0\Leftrightarrow \log_2 {(x+1)}=1\Leftrightarrow x+1=2^1\Leftrightarrow x=1\hspace{3mm} \mbox{ (pela injetividade)} $$ e a função dada por $f(x)=\log_2 {(x+1)}-1$ é crescente, (\ref{ex}) vem: |
\begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
\left\{\begin{array}{l} | \left\{\begin{array}{l} | ||
Latest revision as of 17:09, 14 February 2013
(a) Comecemos por observar que o domínio da expressão $2\ln x-\ln (x-1)$ é $$\displaystyle \{x \in \mathbb{R}:x > 0 \wedge x > 1 \}=\{x \in \mathbb{R}:x > 1\}.$$ Aplicando as propriedades dos logaritmos temos, para $x > 1$, $$\begin{array}{l} 2\ln x-\ln (x-1)=2\ln 2\Leftrightarrow \ln x^2=\ln (x-1)+\ln 2^2 \Leftrightarrow \ln x^2=\ln (x-1)+\ln 4\\ \\ \Leftrightarrow \ln x^2=\ln (4(x-1)) \Leftrightarrow x^2=4(x-1)\Leftrightarrow x^2-4x+4=0 \Leftrightarrow (x-2)^2=0 \Leftrightarrow x=2 \end{array}$$ Como $x=2$ está no domínio da expressão, resulta que o conjunto solução é $C.S.=\{2\}$.
(b) O domínio da função dada por $f(x)=\log_3{x}$ é $]0,+\infty[$.
Como a função $f(x)=\log_3{x}$ é monótona crescente, $$\log_3{x}\leq 0 \Leftrightarrow \log_3{x}\leq \log_3{1} \Leftrightarrow x\leq 1 $$ Atendendo ao domínio da expressão, resulta que o conjunto solução da inequação dada é $C.S.=]0,1].$
(c) O domínio da função dada por $f(x)=\log_2{(x+1)}$ é $$D=\left\{x \in \mathbb{R}: x+1 > 0\right\}= ]-1,+\infty[.$$ Então, para $x \in ]-1,+\infty[$, \begin{equation}x\log_2{(x+1)}>x \Leftrightarrow x(\log_2{(x+1)}-1)>0 \tag{1} \end{equation} O produto é positivo se: \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{l} \log_2 {(x+1)}-1 >0 \\ \\ x >0 \end{array} \right. & \mbox{ou} & \left\{\begin{array}{l} \log_2 {(x+1)}-1 <0 \\ \\ x <0 \end{array}\right. \tag{2} \end{eqnarray}
Como $$\log_2 {(x+1)}-1=0\Leftrightarrow \log_2 {(x+1)}=1\Leftrightarrow x+1=2^1\Leftrightarrow x=1\hspace{3mm} \mbox{ (pela injetividade)} $$ e a função dada por $f(x)=\log_2 {(x+1)}-1$ é crescente, ((2)) vem: \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{l} x > 1\\ \\ x >0 \end{array} \right. & \mbox{ou} & \left\{\begin{array}{l} x < 1 \\ \\ x <0 \end{array}\right. \end{eqnarray*} Sistematizando esta informação num quadro de sinal, temos: $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} &-1& \hspace{6mm} & 0& &1& \hspace{6mm} \\ \hline \log_2 {(x+1)}-1 & ND& - & - & -& 0 &+ \\ \hline x &-& - & 0 & + &+ & + \\ \hline \displaystyle x(\log_2{(x+1)}-1)&ND &+&0& - & 0& + \\ \end{array}$$
Atendendo ao domínio $D$, o conjunto solução da inequação ((1)) é: $C.S.=]-1,0[\cup ]1,+\infty[.$
