Resolução-3
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Para determinar a expressão da inversa vamos resolver a equação $y=2+e^{x-1}$ em ordem a $x$: | Para determinar a expressão da inversa vamos resolver a equação $y=2+e^{x-1}$ em ordem a $x$: | ||
Revision as of 17:10, 14 February 2013
(a) O domínio de $f$ é $D_f= \mathbb{R}$ e o seu contradomínio é $CD_f=]2,+\infty[$, porque, sendo a função exponencial sempre positiva, $$e^{x-1} > 0, \forall x \in \mathbb{R} \Longrightarrow 2+e^{x-1}>2, \forall x \in \mathbb{R}$$ (Note-se que o gráfico de $f$ obtém-se a partir de uma translação do gráfico da função exponencial segundo o vetor $(1,2)$- uma unidade para a direita e duas unidades para cima).
Para determinar a expressão da inversa vamos resolver a equação $y=2+e^{x-1}$ em ordem a $x$: $$y=2+e^{x-1}\Leftrightarrow y-2=e^{x-1} \Leftrightarrow\ln{(y-2)}=\ln{e^{x-1}} \Leftrightarrow x = 1+\ln{(y-2)} $$ Assim, a inversa de $f$ é $f^{-1}$ definida por: $$\begin{array}{lcll} f^{-1}: &]2,+\infty[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & 1+\ln(x-2). \end{array}$$
(b) O domínio de $g$ é: $$D_g = \left\{ x \in \mathbb{R}:2-x> 0 \right\}=]-\infty,2[,$$ e o seu contradomínio é $CD_g=\mathbb{R}$.
Para determinar a expressão da inversa vamos resolver a equação $y=\log_{10}{(2-x)}$ em ordem a $x$: $$y=\log_{10}{(2-x)}\Leftrightarrow \\10^y=2-x\Leftrightarrow \ x=2-10^y $$ Então, a inversa de $g$ é dada por: $$\begin{array}{llll} g^{-1}: &\mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & 2-10^x. \end{array}$$ e o seu contradomínio é $]-\infty, 2[$.
