Funções trigonométricas

Revision as of 17:13, 14 February 2013

Funções trigonométricas

No que se segue, definiremos as funções trigonométricas (seno, co-seno e tangente) utilizando um círculo de raio $r=1$. Ao círculo orientado de centro na origem e raio unitário chama-se círculo trigonométrico. Recorde-se da geometria do triângulo retângulo, as razões trigonométricas, seno, co-seno e tangente:

$$\sin{\theta}=\frac{\mbox{cateto oposto}}{\mbox{hipotenusa}}\hspace{1cm} \cos{\theta}=\frac{\mbox{cateto adjacente}}{\mbox{hipotenusa}}\hspace{1cm} \tan{\theta}=\frac{\mbox{cateto oposto}}{\mbox{cateto adjacente}}$$

Seja $P(x,y)$ um ponto qualquer da circunferência, $O$ a origem do referencial e centro da circunferência e $\theta$ o ângulo que o vetor $\overrightarrow{OP}$ faz com o semieixo positivo das abcissas. Então, no caso da circunferência de raio 1, temos

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \displaystyle\sin{\theta}=y & \displaystyle\cos{\theta}=x & \displaystyle\tan{\theta}=\frac{y}{x} =\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}},\quad x\neq 0 \\ \hline \end{array}$$

A cada valor do ângulo $\theta$ corresponde um e um só valor de cada uma das três razões consideradas, as quais por este facto são funções do ângulo $\theta$. Tais funções são chamadas funções circulares ou funções trigonométricas. Em seguida apresenta-se uma tabela de valores das funções trigonométricas, anteriormente definidas, para alguns ângulos do $1^o$ quadrante.

$$ \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline \theta \mbox{(Graus)}& 0^o & 30^o & 45^o & 60^o & 90^o\\\hline \theta \mbox{(Radianos)}&0&\frac{\pi}{6}&\frac{\pi}{4}&\frac{\pi}{3}&\frac{\pi}{2}\\ \hline\hline \sin \theta&0&\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}&1\\ \hline \cos \theta&1&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{2}&0\\ \hline \tan \theta&0&\frac{\sqrt{3}}{3}&1&\sqrt{3}& \mbox{não definida}\\ \hline \end{array} $$ Usando as mesmas definições das funções trigonométricas para os restantes quadrantes ($\displaystyle \sin{\theta}=y $, $\displaystyle \cos{\theta}=x$ e $\displaystyle \tan{\theta}=\frac{y}{x},\quad x\neq 0$ ), podemos registar as seguintes conclusões:

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline & 0 & 1^o Q &\displaystyle \frac{\pi}{2} & 2^o Q & \pi & 3^o Q & \displaystyle \frac{3\pi}{2} & 4^o Q & 2\pi \\ & & \left(0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right) & & \left(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi \right) & & \left( \pi < \theta < \frac{3\pi}{2} \right) & & \left(\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi \right) & \\ \hline \sin{\theta} & 0 & +& 1 & + & 0 & - & -1 & -& 0 \\ \hline \cos{\theta} & 1 & +& 0 & - & -1 & - & 0 & +& 1 \\ \hline \tan{\theta} & 0 & +& \mbox{não definida} & - & 0 & + & \mbox{não definida} & -& 0 \\ \hline \end{array} $$

As funções trigonométricas são funções periódicas. Repare-se que um ângulo de $\theta + 2\pi$ têm exatamente as mesmas razões trigonométricas, já que $2 \pi$ corresponde a uma volta completa.

Uma função $f$ diz-se periódica se existe um $p>0$ tal que $$\ f(x+p)=f(x), \ \forall x \in D_f$$ Ao menor valor positivo $p$ que satisfaça a igualdade acima dá-se a designação de período da função $f$.

As funções trigonométricas não são injetivas pois são periódicas. As funções $\sin$ e $\cos$ têm período $2\pi$ e a função $\tan $ tem período $\pi$.

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