Outras inequações

Revision as of 15:51, 17 October 2012

Resolução de outras Inequações

O primeiro passo a realizar na resolução de uma inequação é transformá-la numa inequação equivalente cujo segundo membro seja nulo. De seguida, e sempre que possível, simplificar o primeiro membro de modo a obter um produto/quociente de expressões .

Exemplos

Considere-se a seguinte inequação $(x-4)(x+1)>0$.

Resolver esta inequação é determinar os valores de $x$ para os quais o produto de $x-4$ por $x+1$ é positivo. Atendendo a que o produto de dois factores só é positivo se ambos tiverem o mesmo sinal, pode-se concluir que os valores de $x$ são os que verificam as condições \begin{eqnarray*} (x-4)(x+1)>0 & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} x-4>0 \\ x+1>0 \\ \end{array} \right. \lor \left\{ \begin{array}{l} x-4<0 \\ x+1<0 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow & \left\{ \begin{array}{l} x>4 \\ x>-1 \\ \end{array} \right. \lor \left\{ \begin{array}{l} x<4 \\ x<-1 \\ \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow & x>4 \lor x<-1 \end{eqnarray*}

Uma forma mais simples para a resolução deste tipo de inequações é a construção de uma tabela. O primeiro membro da inequação $(x-4)(x+1)>0$ tem dois fatores. O que se pretende é colocar numa tabela os intervalos em que cada um dos factores é positivo ou negativo.

Os valores que se têm de colocar nas colunas são os valores para os quais cada fator se anula, por ordem crescente. Os fatores anulam-se para $4$ e $-1$, respetivamente. Assinala-se o sinal que cada fator toma em cada intervalo. Assim a tabela tem a forma

\[ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} \multicolumn{1}{c|}{ \ } & & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-9-QINU & & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-10-QINU & \\ \hline UNIQ121240c67cafa0-MathJax-11-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-12-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-13-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-14-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-15-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-16-QINU \\ \hline UNIQ121240c67cafa0-MathJax-17-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-18-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-19-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-20-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-21-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-22-QINU \\ \hline UNIQ121240c67cafa0-MathJax-23-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-24-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-25-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-26-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-27-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-28-QINU \\ \end{tabular} \] A última linha é preenchida atendendo à regra dos sinais. \[ \begin{tabular}{|c|} \hline \textbf{Regra dos Sinais} \\ \\ Um produto é \textbf{positivo} se o número de factores negativos é \textbf{par} \\ \\ Um produto é \textbf{negativo} se o número de factores negativos é \textbf{ímpar} \\ \hline \end{tabular} \]

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\noindent Assim \[ (x-4)(x+1)>0 \sse x<-1 \lor x>4, \] ou seja, o conjunto solução da inequação é $]-\infty,-1[\cup]4,+\infty[$.

\noindent Se se pretende resolver a inequação $(x-4)(x+1)\le0$, basta observar de novo o quadro e concluir que \[ (x-4)(x+1)\le0 \sse -1\le x \le4 \]

 \item Considere-se a seguinte inequação

\[ \frac{x-3}{4-x}\le1 \] Resolver uma inequação reduz-se ao problema de determinar o sinal de uma expressão. Assim, tem que se colocar o segundo membro da inequação a zero e depois transformar o primeiro membro num produto/quociente de expressões. \begin{align*} \frac{x-3}{4-x}\le1 & \sse \frac{x-3}{4-x}-1\le0 & \\ & \sse \frac{x-3}{4-x}-\frac{4-x}{4-x}\le0 & \\ & \sse \frac{x-3-4+x}{4-x}\le0 & \\ & \sse \frac{2x-7}{4-x}\le 0 & \end{align*} Aplicando a tabela descrita no exemplo anterior, os factores anulam-se para $\DS\frac{7}{2}$ e $4$, respectivamente. Assim a tabela tem a forma \[ \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c} & & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-33-QINU & & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-34-QINU & \\ \hline UNIQ121240c67cafa0-MathJax-35-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-36-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-37-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-38-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-39-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-40-QINU \\ \hline UNIQ121240c67cafa0-MathJax-41-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-42-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-43-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-44-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-45-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-46-QINU \\ \hline UNIQ121240c67cafa0-MathJax-47-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-48-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-49-QINU & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-50-QINU & S/S & UNIQ121240c67cafa0-MathJax-51-QINU \\ \end{tabular} \] Note-se que, quando $x=4$, o denominador anula-se e a inequação não faz sentido e, por isso, é usual escrever-se $S/S$, que significa \textit{Sem Significado}. \noindent Pretende-se os valores que tornam negativa ou nula a fracção. Assim o conjunto solução é $\DS\left]-\infty,\frac{7}{2}\right] \cup ]4,+\infty[$. \end{enumerate}