Funções pares e funções ímpares
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Seja $D_f\subseteq \mathbb{R}$ um conjunto simétrico em relação à origem e $f$ uma função real definida em $D_f$, $f:D_f\rightarrow \mathbb{R}$. | Seja $D_f\subseteq \mathbb{R}$ um conjunto simétrico em relação à origem e $f$ uma função real definida em $D_f$, $f:D_f\rightarrow \mathbb{R}$. | ||
| − | * A função $f$ diz-se '''par''' se $f(-x)=f(x)$ qualquer que seja $x \in D_f$. As funções pares têm gráficos | + | * A função $f$ diz-se '''par''' se $f(-x)=f(x)$ qualquer que seja $x \in D_f$. As funções pares têm gráficos simétricos em relação ao eixo das ordenadas. |
| − | simétricos em relação ao eixo das ordenadas. | + | |
* A função $f$ diz-se '''ímpar''' se $f(-x)=-f(x)$, para todo o $x \in D_f.$ As funções ímpares têm gráficos simétricos em relação à origem do referencial. | * A função $f$ diz-se '''ímpar''' se $f(-x)=-f(x)$, para todo o $x \in D_f.$ As funções ímpares têm gráficos simétricos em relação à origem do referencial. | ||
Revision as of 12:03, 2 November 2012
Funções pares e funções ímpares
Um conjunto $D\subseteq \mathbb{R}$ diz-se simétrico em relação à origem se cada elemento do conjunto $D$ tem o seu simétrico em $D$, i.e.,
Qualquer que seja o elemento $x \in D$ o seu simétrico $-x$ também pertence a $D$.
O conjunto $A=[-3,3]$ é simétrico, mas o conjunto $B=[-3,4]$ não é simétrico já que nem todos os pontos têm o seu simétrico em $B$, por exemplo, $4 \in B$ e $-4 \notin B$.
Seja $D_f\subseteq \mathbb{R}$ um conjunto simétrico em relação à origem e $f$ uma função real definida em $D_f$, $f:D_f\rightarrow \mathbb{R}$.
- A função $f$ diz-se par se $f(-x)=f(x)$ qualquer que seja $x \in D_f$. As funções pares têm gráficos simétricos em relação ao eixo das ordenadas.
- A função $f$ diz-se ímpar se $f(-x)=-f(x)$, para todo o $x \in D_f.$ As funções ímpares têm gráficos simétricos em relação à origem do referencial.
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\begin{pvplot}[name=simep,unit=10mm,build](-3,3.5)(-.5,3)
\pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y]
\pvfunct[size=2]{.2*x**4-x**2+1.5:(-2.4,2.4)}
\pvpoint[x=\scriptstyle a,dash,pt](2.33,2){}
\pvpoint[x=\scriptstyle-a,dash,pt](-2.33,2){}
\end{pvplot}
&
\begin{pvplot}[name=simei,unit=10mm,build](-3,3.5)(-2,2)
\pvaxes[x=\scriptstyle x,y=\scriptstyle y]
\pvfunct[size=2]{.5*x**3-1.5*x:(-2.1,2.1)}
\pvpoint[x=\scriptstyle a,y=\scriptstyle b,dash,pt](2,1){}
\pvpoint[x=\scriptstyle -a,y=\scriptstyle -b,dash,pt](-2,-1){}
\end{pvplot} \\
Função par & Função ímpar \\
\end{tabular}
\end{center}
\subsubsection*{Exemplos}
\begin{enumerate}
\item A função UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-25-QINU tem como domínio UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-26-QINU (que é um conjunto simétrico).
\begin{tabular}{llc}
\begin{pvplot}[name=parabola,pos=c,unit=8mm,build](-2,3)(-2.5,4)
\pvaxes[x=x,y=y,xrange={-2,3}]
\pvfunct[size=2]{x*x:(0,2)->(0,3)}
\pvfunct[size=2]{-x*x:(-2,0)->(-2,0)}
\pvpoint[x=\scriptstyle1](1,0){}
\pvpoint[x=\scriptstyle-1](-1,0){}
\pvpoint[pt](0,0){}
\pvpoint(2,3)[cb]{y=~x|x|}
\end{pvplot} & \hspace{2cm} &
\begin{tabular}{c}
Como para todo o UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-27-QINU\\
\\
UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-28-QINU \\
\\
a função UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-29-QINU é ímpar. \\
\end{tabular} \\
\end{tabular}
\item A função UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-30-QINU tem como domínio o conjunto UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-31-QINU, que não é um conjunto simétrico, portanto a função UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-32-QINU não é par nem ímpar.
\item A função definida por UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-1-QINU
tem domínio UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-33-QINU, que é um conjunto simétrico.
\begin{minipage}{2.85in}
\includegraphics[width=2.8in]{funcj}
\end{minipage}
\begin{minipage}{3.79in}
Repare que UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-2-QINU logo UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-34-QINU
Esta igualdade permite concluir que a função não é ímpar, mas não permite concluir que a função é par. Contudo, por exemplo UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-3-QINU e portanto, UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-35-QINU, logo UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-36-QINU não é par.
Podemos então afirmar que a função UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-37-QINU não é par nem ímpar.
\end{minipage}
\end{enumerate}
\subsubsection*{Exercícios propostos} \begin{enumerate} \item Dos seguintes gráficos apenas um é de uma função par e apenas um é de uma função ímpar. Identifique- os. \begin{tabular}{llll} (a) & (b) & (c) & (d) \\ \includegraphics[width=1.3in]{parouimpar1} & \includegraphics[width=1.3in]{parouimpar2} & \includegraphics[width=1.3in]{parouimmpar3} & \includegraphics[width=1.3in]{parouimpar4} \\ \end{tabular} \item Das seguintes expressões com variáveis apenas uma define uma função ímpar e apenas uma define uma função par. Identifique-as. UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-38-QINU; UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-39-QINU; UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-40-QINU; UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-41-QINU e UNIQ5321fe7eb113d01-MathJax-42-QINU \end{enumerate}
