Limites infinitos e limites no infinito
Diz-se que $f$ tem limite $+\infty$ quando $x$ tende para $a$ em $D$, $$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=+\infty,$$ se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, distintos de $a$, que tende para $a$ $\displaystyle \left( \lim_{n \to +\infty}x_n=a\right)$, a correspondente sucessão das imagens
$\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $+\infty$ $\displaystyle \left(\lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty\right)$.
Diz-se que $f$ tem limite $l$ quando $x$ tende para $+\infty$ em $D$,
$$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=l,$$
se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, que tende para $+\infty$ $\displaystyle \left( \lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty\right)$, a correspondente sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $l$ $\displaystyle \left(\lim_{n \to +\infty}f(x_n)=l\right)$.
Diz-se que $f$ tem limite $+\infty$ quando $x$ tende para $+\infty$ em $D$,
$$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty,$$
se para toda a sucessão $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$, de elementos de $D$, que tende para $+\infty$ $\displaystyle \left( \lim_{n \to +\infty}x_n=+\infty\right)$, a correspondente sucessão das imagens $\left(f(x_n)\right)_{n \in \mathbb{N}}$ tende para $+\infty$ $\displaystyle \left(\lim_{n \to +\infty}f(x_n)=+\infty\right$.
Definem-se de modo análogo $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=-\infty$, $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=l$, $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty$, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$ e $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty$.
Convém sublinhar que $+\infty$ e $-\infty$ não são números reais e quando $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = +\infty$ ou $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x) = -\infty$, diz-se que não existe em $\mathbb{R}$ o limite de $f(x)$ quando $x$ tende para $a$.
Exemplo Vejamos que não existe $\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\sin x$.\\ Se considerarmos as sucessões $x_n=2n\pi$ e $y_n=2n\pi+\frac{\pi}{2}$, ambas são infinitamente grandes, ou seja, tendem para $+\infty$, no entanto, tem-se: $$\sin(x_n)=\sin(2n\pi)=0\to0$$ e $$\sin(y_n)=\sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1\to1.$$ Se o limite existisse, seria único e portanto qualquer sucessão $(f(x_n))_n$ deveria convergir para esse limite, independentemente da escolha da sucessão $(x_n)_n$.
\vspace{0.1cm} De forma análoga se prova que \textbf{não existem} os seguintes limites:\\ \[ \lim_{x \to -\infty}\sin x, \hspace{5mm} \lim_{x \to +\infty}\cos x, \hspace{5mm} \lim_{x \to -\infty}\cos x, \hspace{5mm} \lim_{x \to +\infty}\tan x, \hspace{5mm} \lim_{x \to -\infty}\tan x. \]
