Função ramos - resolução 1
1. Para calcular $f(x_0)$ devemos escolher adequadamente o ramo ao qual pertence $x_0$.
Assim, para calcular $f(0)$ usa-se a expressão $\displaystyle \frac{3 \, x - 7}{x^{2} + 5}$ e vem $$f(0)=-\frac{7}{5}$$ Para calcular $f(-1)$ usa-se a expressão $\displaystyle \frac{3 \, x - 7}{x^{2} + 5}$ e resulta $$f(-1)=-\frac{5}{3}$$ Finalmente, para calcular $f(2)$ usa-se a expressão $\displaystyle 3 \, x + 2$ e obtém-se $$ f(2)=8$$ 2. Para determinar os zeros da função começamos por determinar os zeros de cada uma das expressões que a define: $$3 \, x + 2=0 \Leftrightarrow x=-\frac{2}{3} \quad \mbox{e} \quad \frac{3 \, x - 7}{x^{2} + 5}=0 \Leftrightarrow x=\frac{7}{3}$$ De seguida verifica-se se $\displaystyle -\frac{2}{3}$ está no ramo da função definido por $3 \, x + 2$ e se $\displaystyle \frac{7}{3}$ está no ramo de $f$ definido por $\displaystyle \frac{3 \, x - 7}{x^{2} + 5}$. Então,
- Como $\displaystyle -\frac{2}{3}$ não está no ramo $x > 0$, $\displaystyle -\frac{2}{3}$ não é zero de $f$;
- Como $\displaystyle \frac{7}{3}$ não está no ramo $x \leq 0$, $\displaystyle \frac{7}{3}$ não é zero de $f$.
3. $y$ está no contradomínio (conjunto das imagens) da função $f$ se existir $x \in D_f$ (domínio da função, que neste caso é $\mathbb{R}$) tal que $$f(x)=y$$ Teremos que considerar as duas equações, $$3 \, x + 2=-\frac{7}{5} \quad \mbox{e} \quad \frac{3 \, x - 7}{x^{2} + 5}=-\frac{7}{5}$$ e determinam-se as suas soluções: $$3 \, x + 2=-\frac{7}{5} \Leftrightarrow x=-\frac{17}{15}$$ $$\frac{3 \, x - 7}{x^{2} + 5}=-\frac{7}{5} \Leftrightarrow x=-\frac{15}{7} \; \vee \; x=0$$ Verifica-se agora se as soluções estão nos ramos definidos respetivamente por $3 \, x + 2$ e $\displaystyle \frac{3 \, x - 7}{x^{2} + 5}$:
- Como $\displaystyle -\frac{17}{15}$ não está no ramo $x > 0$, $\displaystyle -\frac{17}{15}$ não é solução de $\displaystyle f(x)=-\frac{7}{5}$;
- Como $\displaystyle -\frac{15}{7}$ está no ramo $x \leq 0$, $\displaystyle -\frac{15}{7}$ é solução de $\displaystyle f(x)=-\frac{7}{5}$;
- Como $\displaystyle 0$ não está no ramo $x \leq 0$, $\displaystyle 0$ não é solução de $\displaystyle f(x)=-\frac{7}{5}$;
Pode então concluir-se que $\displaystyle -\frac{7}{5}$ pertence ao contradomínio de $f$.
