Exemplos-12

Exemplo 1

Considere-se a inequação $\vert 5x+2\vert\le0$. Então \[ \vert 5x+2\vert\le0 \Leftrightarrow 5x+2 \le 0 \land 5x+2\ge0 \land \underbrace{0\ge0}_{V} \] Recorde-se que ${\cal C} \land V\Leftrightarrow {\cal C}$, qualquer que seja a condição $\cal C$ e, além disso, \[ 5x+2 \le 0 \land 5x+2\ge0\Leftrightarrow 0\le5x+2 \le 0\Leftrightarrow 5x+2=0. \] Logo a solução é $\displaystyle 5x+2=0 \Leftrightarrow x=-\frac{2}{5}$.

Exemplo 2

Seja $\vert x^2-x\vert\le2x-3$. \begin{align*} \vert x^2-x\vert\le2x-3 & \Leftrightarrow \left[ x^2-x\le2x-3 \land x^2-x\ge-(2x-3) \right] \land 2x-3\ge0 & \\ & \Leftrightarrow \left(x^2-x-2x+3\le0 \land x^2-x+2x-3\ge0 \right) \land 2x\ge3 & \\ & \Leftrightarrow \left(x^2-3x+3\le0 \land x^2+x-3\ge0 \right) \land x\ge\frac{3}{2} & \end{align*} As duas primeiras inequações são do 2º grau.

Repare-se que $f(x)=x^2-3x+3$ não admite zeros ($\Delta=-3<0$) e tem a concavidade voltada para cima ($a=1>0$), o que permite concluir que o seu gráfico está sempre acima do eixo dos $xx$, ou seja, $x^2-3x+3\le0$ é uma condição impossível. Como $\F\land{\cal C}\Leftrightarrow\F$, qualquer que seja a condição $\cal C$, temos que a inequação dada é impossível, ou seja, o seu conjunto solução é $\emptyset$.