Potências 1-Resolução

1. $\displaystyle 2^{-2}\times 2^{3}=2^{1}$

Uma vez que, $a^{p} \times a^{q}=a^{p+q}$, isto é, o produto de potências com a mesma base e diferentes expoentes é uma potência com a mesma base e expoente igual à soma dos expoentes dos fatores, $$\displaystyle 2^{-2} \times 2^{3}=2^{\left(-2\right)+3}=2^{1}.$$

2. $\displaystyle \frac{4^{3}}{4^{-2}}=4^{5}$

Uma vez que, $\displaystyle \frac{a^{p}}{a^{q}}=a^{p-q}$, isto é, o quociente de potências com a mesma base e diferentes expoentes é uma potência com a mesma base e expoente igual à diferença dos expoentes, obtém-se $$\displaystyle \frac{4^{3}}{4^{-2}}=4^{3-\left(-2\right)}=4^{5}.$$

3. $\displaystyle 3^{5} \times \left(-1\right)^{5}=\left(-3\right)^{5}$

Como $a^{p} \times b^{p}=(a \times b)^{p}$, isto é, o produto de potências com diferentes bases e o mesmo expoente é uma potência cuja base é o produto das bases dos fatores e o mesmo expoente, resulta $$\displaystyle 3^{5} \times \left(-1\right)^{5}=(3 \times \left(-1\right))^{5}=\left(-3\right)^{5}.$$

4. $\displaystyle \frac{\left(-1\right)^{-2}}{\left(-3\right)^{-2}}=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}.$

Uma vez que, $\displaystyle \frac{a^{p}}{b^{p}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{p}$, isto é, o quociente de potências com o mesmo expoente é uma potência com o mesmo expoente e com base igual ao quociente das bases dos fatores, vem $$\displaystyle\frac{\left(-1\right)^{-2}}{\left(-3\right)^{-2}}=\left(\frac{\left(-1\right)}{\left(-3\right)}\right)^{-2}=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}.$$

5. $\displaystyle \left(3^{-1}\right)^{-2}=3^{2}$

Como $\left(a^p\right)^q=a^{pq}$, vem $$\displaystyle \left(3^{-1}\right)^{-2}=3^{-1 \times -2}=3^{2}.$$