Funções polinomiais: resolução 2

• Como a expressão $\displaystyle -2 \, x^{2} + 16 \, x - 30$ está definida para todo o número real, conclui-se que o domínio de $p$ é $\mathbb{R}$;

• Para determinar os zeros de $p$ resolve-se a equação $$\displaystyle -2 \, x^{2} + 16 \, x - 30=0.$$ Como é uma equação do segundo grau aplica-se a fórmula resolvente

$$ x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},$$ neste caso com $a=-2$, $b=16$ e $c=-30$. Resultando assim $$x=\frac{-16 \pm \sqrt{256-240}}{-4} \Leftrightarrow x=5 \vee x=3.$$ Deste modo conclui-se que os zeros de $p$ são $\displaystyle 5$ e $\displaystyle 3.$

• O sinal do polinómio de 2º grau $ax^2+bx+c$ depende do sinal de $a$. Se o polinómio tem duas raízes reais, o sinal de $p(x)$ é o sinal de $a$ fora do intervalo definido pelas raízes e o sinal contrário ao de $a$ no intervalo definido pelas raízes.

Como neste caso $a=-2 < 0$ vem,

• • $p(x)<0$ em $\displaystyle \left]-\infty,3 \right[ \cup \left]5,+\infty \right[$
  • $p(x)>0$ em $\displaystyle \left]3 , 5\right[$.

• O gráfico de um polinómio de grau 2 é uma parábola. Neste caso o vértice da parábola tem coordenadas $\displaystyle \left(4,2\right)$ e, atendendo ao sinal de $a=-2 < 0$, conclui-se que:
  • $p$ é crescente em $\displaystyle \left]-\infty, 4 \right[$;
  • $p$ é decrescente em $\displaystyle \left]4, +\infty\right[$;
  • o valor máximo de $p$ é $\displaystyle 2$;
  • $\displaystyle 4$ é o maximizante

e, consequentemente, o contradomínio de $p$ é $\displaystyle \left]-\infty, 2 \right]$.

Com a informação descrita anteriormente é possível preencher a tabela apresentada. Assim,

Polinómio	$p(x)=-2 \, x^{2} + 16 \, x - 30$
Domínio	$\mathbb{R}$
Zeros	$\displaystyle x=5\; \vee \;x=3 $
Sinal	$p(x)<0$ em $\displaystyle \left]-\infty,3 \right[ \cup \left]5,+\infty \right[$;\quad $p(x)>0$ em $\displaystyle \left]3 , 5\right[$
Extremos	máximo $\displaystyle 2$, maximizante $\displaystyle 4$
Monotonia	crescente em $\displaystyle \left]-\infty, 4 \right[$ e decrescente em $\displaystyle \left]4, +\infty\right[$
Contradomínio	$\displaystyle \left]-\infty, 2 \right]$

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