Inequações do 2º grau

Inequações do 2º grau

O gráfico da função $f(x)=ax^2+bx+c$, com $a\neq0$, é uma parábola. Se $a<0$ a concavidade da parábola é voltada para baixo e se $a>0$ a concavidade é voltada para cima.

Resolver a inequação $ax^2+bx+c > 0$ é determinar os valores de $x$ para os quais a função $f$ é positiva, isto é, o gráfico da função fica acima do eixo dos $xx$.

Analogamente, resolver a inequação $ax^2+bx+c<0$ é determinar os valores de $x$ para os quais a função é negativa, ou seja, o gráfico da função fica abaixo do eixo dos $xx$.

As soluções deste tipo de inequações dependem do valor de $a$ e da posição do vértice da parábola correspondente à inequação tal como ilustram as tabelas seguintes. Recorde-se que a ordenada do vértice é dada por $y_v=\displaystyle -\frac{\Delta}{4a}$ e a abcissa é $\displaystyle x_v=-\frac{b}{2a}$, com $\Delta = b^2-4ac$.

Por exemplo a parábola $y=3x^2$, tem o vértice em $(0,0)$ e a concavidade voltada para cima, enquanto que a parábola $y=-3x^2$ tem o mesmo vértice mas a concavidade voltada para baixo.

Neste caso temos a concavidade voltada para cima, por isso $a>0$ e a parábola interseta o eixo das abcissas em dois pontos, portanto $\Delta > 0$. O vértice da parábola tem uma ordenada negativa.

Exemplo

A parábola $2x^2-2x-12$ tem $a=2$ e $\Delta=(-2)^2-4\times 2 \times (-12)=100$. Podemos então afirmar que a parábola tem a concavidade voltada para cima, tem dois zeros, $\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2 \pm 10}{4}$ ($x=3$ ou $x=-2$) e o seu vértice é $\displaystyle \left(-\frac{-2}{2 \times 2},-\frac{100}{8}\right)=\left(\frac{1}{2},-\frac{25}{2}\right)$.

O conjunto solução de $2x^2-2x-12<0$ é $]-2,3[$ e o conjunto solução de $2x^2-2x-12<0$ é $]-\infty,-2[ \cup ]3,+\infty[$.

Neste caso temos a concavidade voltada para cima, por isso $a>0$ e a parábola interseta o eixo das abcissas apenas num ponto, portanto $\Delta = 0$. O vértice da parábola é o seu zero.

Consideremos a parábola $x^2-10x+25$. Nesta caso, $a=1$ e $\Delta=(-10)^2-4 \times 1 \times 25=0$. O único zero da função é $x=5$, e portanto o vértice da parábola é $(5,0)$.

O conjunto solução da inequação $x^2-10x+25 <0$ é o conjunto vazio, $\emptyset$. O conjunto solução de $x^2-10x+25>0$ é $\mathbb{R}\setminus\{5\}$. Note-se que o conjunto solução de $x^2-10x+25 \ge 0$ é $\mathbb{R}$ e o conjunto solução de $x^2-10x+25\le 0$ é $\{5\}$.

Neste caso temos a concavidade voltada para cima, por isso $a>0$ e a parábola não interseta o eixo das abcissas, portanto $\Delta < 0$.

Consideremos a parábola $4x^2+x+7$. $\Delta=1-4\times 4 \times 7=-111$, logo a parábola não tem zeros. Como $a=4$, a concavidade está voltada para cima. O vértice da parábola é o ponto $\displaystyle \left(-\frac{1}{8},\frac{111}{16}\right)$. O conjunto solução de $4x^2+x+7 \le 0$ é o conjunto vazio e o conjunto solução de $4x^2+x+7>0$ ou de $4x^2+x+7\ge 0$ é $\mathbb{R}$.

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\end{tabular} \\ \hline \begin{tabular}{c} \\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-57-QINU \\ (concavidade para baixo) \\ \\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-58-QINU e UNIQ33f9226979db953e-MathJax-59-QINU \\ \\ dois zeros distintos \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \includegraphics[width=1in]{parabolas4} \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-60-QINU \\ \\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-61-QINU\\ \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c}\\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-62-QINU \\ \\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-63-QINU \\ \\ \end{tabular} \\ \hline

\begin{tabular}{c} \\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-64-QINU\\ \\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-65-QINU e UNIQ33f9226979db953e-MathJax-66-QINU \\ \\ um zero (duplo) \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \includegraphics[width=1in]{parabolas5} \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-67-QINU \\ \\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-68-QINU\\ \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-69-QINU \\ \\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-70-QINU \\ \\ \end{tabular} \\ \hline

\begin{tabular}{c} \\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-71-QINU\\ \\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-72-QINU e UNIQ33f9226979db953e-MathJax-73-QINU \\ \\ não tem zeros \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c} \includegraphics[width=1in]{parabolas6} \end{tabular} & \begin{tabular}{c}\\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-74-QINU \\ \\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-75-QINU\\ \\ \end{tabular} & \begin{tabular}{c}\\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-76-QINU \\ \\ UNIQ33f9226979db953e-MathJax-77-QINU \\ \\ \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}

\subsubsection*{Exercícios Propostos} \begin{enumerate} \item Determine o menor número natural que verifica a condição UNIQ33f9226979db953e-MathJax-83-QINU \item Determine, em UNIQ33f9226979db953e-MathJax-78-QINU, o conjunto solução das seguintes inequações \begin{tabular}{ll} (a) UNIQ33f9226979db953e-MathJax-79-QINU \ \ \ \ \ \ \ & (b) UNIQ33f9226979db953e-MathJax-80-QINU \\ (c) UNIQ33f9226979db953e-MathJax-81-QINU & (d) UNIQ33f9226979db953e-MathJax-82-QINU \end{tabular} \end{enumerate}