Resolução 8

(a) Como a expressão que define a função $f$ é uma raiz quadrada, o radicando tem que ser não negativo, e, sendo o radicando uma fracção, o denominador não pode ser nulo. $$D_f= \left\{ x \in \mathbb{R}:\displaystyle \frac{2x-4}{-x^2+3x} \ge 0 \wedge -x^2+3x \neq 0 \right\}$$ $$\left( \frac{2x-4}{-x^2+3x} \ge 0 \wedge -x^2+3x \ne 0 \right) \Leftrightarrow \left(2x-4 \geq 0 \wedge -x^2+3x > 0 \right) \vee \left(2x-4 \leq 0 \wedge -x^2+3x < 0 \right)$$ Vamos determinar os zeros de $2x-4$ e de $-x^2+3x $: $$2x-4 = 0 \Leftrightarrow x=2$$ $$\begin{array}{ccccccc} -x^2+3x=0 & \Leftrightarrow & x(-x+3)=0 & \Leftrightarrow & x=0 \vee -x+3 =0 &\Leftrightarrow &x=0 \vee x=3\\ & & & & & & \\ \end{array}$$ $$\begin{array}{cl} \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} & \hspace{6mm} & 0 &\hspace{6mm} & 2 & \hspace{6mm}& 3 & \hspace{6mm} \\ \hline %x & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline %-x+3 & + & + & + & + & +& 0 & - \\ \hline -x^2+3x & - & 0 & + & +& + & 0 & - \\ \hline 2x-4 & - & - & - & 0 & + & + & + \\ \hline & & & & & & & \\ \DS \frac{2x-4}{-x^2+3x} &+&\mbox{ND}& - & 0& + &\mbox{ND} &- \\ \end{array} & \begin{array}{ccl} D_f & = & \left\{ x \in \mathbb{R}: x < 0 \vee 2 \le x < 3 \right \} \\ & & \\ & = & ]-\infty , 0[ \cup [2,3[\\ \end{array}\\ \end{array}$$

A função $g$ apenas envolve um radicando portanto, $$D_g= \left\{ x \in \mathbb{R}:x+1 \ge 0 \right\}=[-1,+\infty[$$ \item[(b)]Os zeros de $f$ são os pontos do domínio de $f$ que anulam a função: $$\{x \in D_f: f(x)=0\}=\{x \in D_f: 2x-4=0\}=\{2\}.$$ Como a função não está definida em $0$, não existe $f(0)$.

Os zeros de $g$ são os pontos do domínio de $g$ que anulam a função, i.e., $\{x \in D_g: g(x)=0\}$. $$g(x)=0\Leftrightarrow 3- \sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow \underbrace{\sqrt{x+1}=\DS 3\Leftrightarrow x+1=9}_{\tiny (\mbox{há equivalência porque }x\geq -1)} \Leftrightarrow x=8.$$ Assim, $g(x)=0$ se e só se $x=8$.

Como $0 \in D_g$ podemos calcular $g(0)=3- \sqrt{0+1}=2$. \item[(c)] $CD_g=\{y \in \mathbb{R}: y=g(x) \wedge x \in D_g \}$. $$\sqrt{x+1} \geq 0 \Leftrightarrow -\sqrt{x+1} \leq 0 \Leftrightarrow 3-\sqrt{x+1} \leq 3$$ Assim, como $\sqrt{x+1}$ assume qualquer valor maior ou igual a zero, $CD_g=]- \infty , 3]$. \item[(d.1)]A função soma é a função definida por: $$\begin{array}{cccl} f+g: & D_{f+g} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & f(x)+g(x) \end{array}$$ onde $\DS f(x)+g(x)=\sqrt{\frac{2x-4}{-x^2+3x}}+3-\sqrt{x+1}$. $$D_{f+g}=D_f\cap D_g=\left(]-\infty , 0[ \cup [2,3[ \right) \cap [-1,+\infty[=[-1,0[ \cup [2,3[.$$ \item[(d.2)]A função quociente é a função definida por: $$\begin{array}{cccl} \DS \frac{f}{g}: & D_{\frac{f}{g}} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & \DS \frac{f(x)}{g(x)} \end{array}$$ em que $\DS \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\sqrt{\frac{2x-4}{-x^2+3x}}}{3-\sqrt{x+1}}$ $$D_{\frac{f}{g}}=D_f\cap D_g \cap \{x \in \mathbb{R}: g(x) \neq 0\}=\left([-1,0[ \cup [2,3[ \right) \cap (\mathbb{R}\setminus \{8\})=[-1,0[ \cup [2,3[.$$ \end{description}